Topología

Definición (Topología): Una topología τ en un conjunto  es una colección  de subconjuntos de τ que cumple las siguientes propiedades:

  1.  ∅, X ∈ τ.
  2. La unión de elementos de cualquier subcolección de τ está en τ.
  3. La intersección de elementos de cualquier subcolección finita de τ está en τ.

A un conjunto X para el cual se ha especificado una topología τ se le llama espacio topológico.

Dados un espacio topológico (X, τ ) ,  y U ⊆ X  tal que U ∈ τ llamamos a U  un conjunto abierto.

En el diagrama, el cual salió del Munkres, se puede observar que para una cantidad finita de elementos existen muchas posibles topologías, donde los subconjuntos encerrados en un círculo representan los conjuntos abiertos.

Verificar que cada una de estas cosas es un espacio topológico, es más talacha que nada, porque hay que tomar todos los casos posibles de uniones e intersecciones. Pero, para dar un ejemplo inmediato de lo que sería topología para un número finito de elementos (y no únicamente 3; simplemente hay que cambiar el número de elementos y copiar la construcción), funciona y es evidente demostrar que

$$ X = \{ \emptyset, \{ a,b,c \}, b \} , X = \{ \emptyset, \{ a \}, \{a,b \},\{ a,b,c \} \}  $$ son topologías.

No todos los subconjuntos de X son necesariamente topologías, como lo indica la siguiente figura:

En el primer caso, la unión de a y b, no está en τ  En el segundo caso, la intersección de los elementos de τ  no está en τ.

A primera vista pareciera que una topología es casi lo mismo que un álgebra o una σ-álgebra, pero la primera no pide ser cerrada bajo complementos.

Más aún, la unión de elementos de cualquier subcolección de una σ-álgebra no necesariamente está en la σ-álgebra, pues esta unión puede ser no numerable.

Es evidente entonces  ver que $$ X = \{ \emptyset, \{ a,b,c \}, b \}$$ es topología, pero no σ-álgebra. Y lo mismo ocurre con $$X = \{ \emptyset, \{ a \}, \{a,b \},\{ a,b,c \} \} . $$ Simplemente son conjuntos que no son cerrados bajo complementos.

Como una especificación más detallada es que, pensando en $$ X = \mathbb{R},$$ con sus intervalos abiertos como la topología usual, querríamos que las operaciones entre los conjuntos abiertos en τ  fuera también un abierto, y nótese que$$ \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \Bigl( a  – \frac{1}{n}, b + \frac {1}{n} \Bigr) = [a,b].$$

Es decir, la intersección numerable de abiertos en ℜ no es necesariamente un abierto. Pero el tomar la intersección finita de abiertos, eso siempre es un abierto (y se tiene que demostrar), y eso da más sentido a lo que pide la definición de ser topología. Tiene sentido también querer demostrar que la unión de abiertos en ℜ es abierto.

La intersección finita de abiertos en ℜ, es un abierto:

$$\text{Dem.- Sean $O_1, O_2,…, O_n$  abiertos en $\mathbb{R}$ y $   x \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}}O_i. $}$$

$$ \text{Entonces $x \in O_i, \forall i \in \mathbb{N} .$} $$

$$\text{Como $O_i$ es abierto, existe  $B_{\delta_i} \subseteq O_i. $} $$

$$\text{Sea  $\delta = min\{ \delta_1 , \delta_2, …, \delta_n \}.$  Entonces }$$

$$B_{\delta}(x) \subseteq \bigcap_{n \in \mathbb{N}}O_i.$$

La unión de abiertos en ℜ es abierto:

$$\text{Dem.- Sean $O_1, O_2,…, O_n$  abiertos en $\mathbb{R}$ y }$$

$$\text{ $   x \in O_i $ para alguna $i\in I.$}$$

$$\text{Como $O_i$ es abierto, existe  $B_{\delta}(x) \subseteq O_i  \subseteq \bigcup_{i \in I }O_i. $} $$

$$\text{De donde $\bigcup_{i \in I }O_i $ es abierto.} $$

La intersección numerable de intervalos abiertos en  ℜ es un intervalo cerrado.

Dem.- Se quiere demostrar que $$ \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \Bigl( a  – \frac{1}{n}, b + \frac {1}{n} \Bigr) = [a,b].$$

$$\text{Ya que para toda $n \in \mathbb{N}$ se cumple que  }$$

$$  a  – \frac{1}{n} < a < b <  b + \frac {1}{n} , $$

es directo que

$$[a,b] \subseteq \Bigl( a  – \frac{1}{n}, b + \frac {1}{n} \Bigr) \forall n \in \mathbb{N} .$$

O lo que es mismo,

$$[a,b] \subseteq \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \Bigl( a  – \frac{1}{n}, b + \frac {1}{n} \Bigr). $$

Para ver la otra contención, demostraremos que

$$ \mathbb{R} \setminus [a,b] \subseteq \mathbb{R} \setminus \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \Bigl( a  – \frac{1}{n}, b + \frac {1}{n} \Bigr): $$

$$\text{Sea $x\in \mathbb{R} \setminus [a,b]$. Entonces $x<a$ o $b<x.$}$$

$$\text{Si $x<a,$ entonces, para alguna $n \in \mathbb{N}$ },$$

$$ 0 < \frac{1}{a-x} < n.$$

$$\text{Así, $ x < a – \frac{1}{n},$ } $$

$$\text{ de donde $ x \notin \Bigl( a  – \frac{1}{n}, b + \frac {1}{n} \Bigr) $ para tal $n$.  }$$

$$\text{Y si $b < x,$ se tiene que}$$

$$ 0 < \frac{1}{x-b} < n. \Rightarrow b + \frac {1}{n} < x. $$

Así, $$ x \notin \Bigl( a  – \frac{1}{n}, b + \frac {1}{n} \Bigr) .$$

Esto demuestra que

$$ x \notin \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \Bigl( a  – \frac{1}{n}, b + \frac {1}{n} \Bigr).$$

Por lo anterior, $$ [a,b] \supseteq \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \Bigl( a  – \frac{1}{n}, b + \frac {1}{n} \Bigr). ♦$$

Ya que la intersección numerable de conjuntos abiertos de ℜ es un conjunto cerrado, como justo se demostró, esto también nos dice que cualquier σ-álgebra de subconjuntos de ℜ que contiene a todos los intervalos abiertos de ℜ, también contiene a todos los intervalos cerrados (pues si la σ-álgebra contiene a todos los abiertos, en particular tiene a los de la forma $$ \Bigl( a  – \frac{1}{n}, b + \frac {1}{n} \Bigr),$$ y por tanto, también están sus intersecciones numerables).

Y es análogo ver que cualquier σ-álgebra de subconjuntos de ℜ que contiene a todos los intervalos cerrados de ℜ, también contiene a todos los intervalos abiertos. Es decir,

$$ (a,b) = \bigcup_{n =1}^{\infty} \Bigl[ a  + \frac{1}{n}, b – \frac {1}{n} \Bigr]. $$