En su libro “De los poliacordes a Pólya; aventuras en la combinatoria musical”, Michael Keith dice que hay precisamente 351 acordes esencialmente diferentes, si consideramos una longitud de 12 notas. Es decir, acordes de máximo 12 notas.
El lector interesado puede buscar el libro e intentar tal vez seguir los razonamientos, pero en resumen, los acordes los relacionamos con una estructura llamada collar y usamos el Teorema de Pólya para contarlos. Hay varias maneras de contar acordes, dependiendo de su utilidad, pero centrémonos en la primera de ellas:
Ya hemos discutido que hay intervalos consonantes e intervalos disonantes, y que aquéllos acordes mayores y menores, que son consonantes, tienen un intervalo mínimo de tercera menor, pues se forman de una tercera mayor seguida de una tercera menor, o viceversa; de una tercera menor seguida de una tercera mayor. Keith explica: si nos fijamos en dos ondas cuyas frecuencias están desfasadas por una distancia $d$ (como es el caso de las notas en la escala cromática), – llamada “frecuencia de batido” -, y tocamos ambas notas del intervalo simultáneamente, si éstas están muy cerca, digamos por un semitono, entonces esa frecuencia de batido estará produciendo una “frecuencia extra” alrededor de los $26 \enspace Hz$ que es audible, pero que es perceptualmente diferente a una frecuencia de batido en aproximadamente los $54 \enspace Hz$, que es el equivalente a tocar dos notas distanciadas por un tono; es decir 2 semitonos. Y aún más, hay una diferencia en la percepción cuando consideramos intervalos con distancias mayores a dos semitonos. Esto sirve como una justificación de la consonancia y la disonancia desde la psico-acústica, y simplemente ello se traduce en que los humanos percibimos extraño algo que produce una frecuencia de batido alrededor de los $26 \enspace Hz$, muy contrastantemente con intervalos que estén separados por algo de 2 semitonos o más.
De esta manera, si consideramos la historia de la música, Michael Keith muestra que un gran cuerpo de las piezas del periodo clásico hacia atrás, satisfacen una condición trivial de tener acordes en los que no hay una distancia de semitono en esos acordes; es decir todos los acordes que se usan tienen un intervalo mínimo de tono. Si nosotros llamamos $a$ al parámetro que mida en una pieza, cuántos acordes hay que contienen al menos un intervalo de semitono, entonces podemos caracterizar a todas esas piezas que no lo contienen por $a = 0$ , la condición trivial. En la última parte del periodo clásico y algo del periodo romántico en adelante, apenas se empezaba a romper esa barrera del $a=0.$ Por ejemplo, en las últimas piezas de Beethoven, ocasionalmente sucede algún acorde con $a>0,$ es decir, hay al menos un intervalo de segunda menor en algún acorde. Luego, hay piezas alrededor del tiempo de Debussy que tienen un $a$ en promedio igual a 1; es decir, se va presentando un acorde, al menos, que contiene un intervalo de segunda menor y tal vez hay acordes conteniendo varios intervalos de segunda menor. Ya en el siglo XX, incluyendo piezas de jazz experimental, encontramos piezas con un valor de $a$ en promedio mayor que 1 o tal vez mucho mayor. Por ejemplo, Makrokosmos Vol 1 de Georges Crumb, tiene comienzos con acordes en donde hay al menos dos intervalos de segunda menor en un acorde, pasando por $a=4$, y en el desarrollo de la misma llegan a haber hasta 8 adyacencias en un acorde (ocho intervalos de segunda menor en un acorde).
Michael Keith propone caracterizar el desarrollo musical, es decir, la historia de la música, a partir de analizar la cantidad de acordes que en una pieza hay, que tienen al menos un intervalo de segunda menor. Proporciona una gráfica en la p. 48 de su libro, capítulo 3. Entonces, efectivamente, para los primeros periodos, la $a$ ni siquiera llega al 1, habiendo varios músicos dentro de esta categoría. Con el paso del tiempo empieza a alzarse ese $a$. Incluso, dice Keith, se puede hacer un programa que, a partir de saber contar los acordes, pueda crear piezas, que mediante variarse el parámetro $a$, cree cosas o más simples o más extrañas. Entonces, en tanto $a$ crezca, más extraño será el sonido general de la pieza. Y esto nuevamente: viene simplemente de analizar el caso en que, cuando un acorde contiene un intervalo de 2a menor, lo percibimos más extraño a aquéllos acordes que no lo tienen. Y será aún más extraño si hay varios intervalos de segunda menor en un acorde; $a=8$ será más extraño que $a=7$, etc.
Así pues, la primera manera de contar acordes es considerar dos partes: aquéllos acordes que no contienen un intervalo de segunda menor y luego aquéllos acordes que sí contienen al menos uno. A estos últimos puede clasificarlos después un poco más, pero esencialmente se comienza por partir de dos casos, lo que nos arroja un primer resultado, que es: hay solamente 30 acordes diferentes que tienen un intervalo mínimo de al menos 2. Es decir, ninguno de los cuáles contiene una distancia de semitono. Estos 30 acordes son los más comúnmente usados en la música, y aún así conforman un muy pequeño porcentaje de todos los posibles acordes, tomados con la longitud doce, es decir, las doce notas de una octava. Lo que también nos permite observar que aproximadamente el 90% de la música usa solamente 10% de los acordes disponibles.
Luego Keith reduce esa lista de 30 acordes a una de 12, entre los que se incluyen mayores, acordes de séptima, sexta, y novena, acordes suspendidos, disminuidos o aumentados; que realmente es lo que respecto a la música pop estaríamos nosotros acostumbrados.
Si consideramos a un acorde como cíclico, el acorde Cmaj7, formado por las notas C E G B en ese orden, contiene un intervalo de segunda menor, aunque implícitamente (porque B y C no son notas adyacentes al ser tocadas). Es decir, si partimos de tomar todos los intervalos posibles en el acorde, de C a E, de C a G, de E a G, G a B, de B a C, entre otros, lo importante es que estamos incluyendo de B a C.
Las otras tres maneras esenciales para contar acordes son según su periodo, variedad y el máximo intervalo que hay entre acordes (en vez de tomar el mínimo). Lo restante consiste en saber hacer estos conteos para casos específicos y qué mejor lograr seguir los razonamientos del libro. Tal vez para ello se necesite trabajarlo con otro matemático. Ya conocemos que hay programas que hacen una implementación de concepto efectiva. En SuperCollider, la biblioteca Miscellaneous Lib puede contar acordes tonales y atonales. Puedes tal vez tú proponerte hacer una clase que haga lo mismo en Python, o en SC. Tal vez el primer paso para ello sea ver unos videos de YouTube e intentar resolver algún problema de LeetCode.