Para los cursos de Álgebra Superior II 2021-1 y 2022-1 de Leonardo Martínez Sandoval en que yo fui ayudante (en CU, Facultad de Ciencias), escribí entradas de blog para la parte de los números enteros. Los links en orden son: Construcción de los números enteros Producto y orden en $\mathbb{Z}$ Propiedades del producto en $\mathbb{Z}$
CategoryÁlgebra Superior II
El algoritmo de Euclides
Introducción El algoritmo de Euclides afirma que podemos aplicar iteradas veces el algoritmo de la división hasta encontrar el máximo común divisor de dos enteros positivos $a$ y $b$, mediante el siguiente procedimiento: Sean $a, b$ cualesquiera enteros positivos, con $a \neq b$ y $a > b.$Por el algoritmo de la división, sabemos que siempre
El conjunto de números primos es infinito
Introducción Había una vez un hotel con infinitas habitaciones y un conserje que les asignaba estancia a los huéspedes que iban llegando. Un día que el hotel estaba lleno, una persona nueva llegó y le pidió al conserje dormir en el hotel esa noche. Para ello, el conserje le pidió a cada huésped que se
El Teorema Fundamental de la Aritmética
Introducción El teorema fundamental de la aritmética afirma que todo entero tiene una descomposición única como producto de primos. Nos referimos a situaciones del tipo $$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 \text{,}$$ $$13 = 13^1 \text{,}$$ $$152 = 2^3\times 19, \enspace \text{etc.}$$ Los números primos son los átomos de los números enteros,
Álgebra Superior II: Mínimo Común Múltiplo
Introducción Definiremos al mínimo común múltiplo de dos enteros $a, b$ como el menor de los múltiplos comunes de $a$ y $b$. Ejemplificando, sean $a = 6$, $b = 8$. Obviamente, $6\cdot 8 = 48$ es un múltiplo común para $6$ y $8$, pero no es el mínimo. Mientras que $24$ sí lo es. El
Álgebra Superior II: Máximo Común Divisor
Introducción En esta entrada primero veremos qué significa que un entero $a$ divida a otro entero $b.$ Luego nos servirá recordar lo que es un ideal en $\mathbb{Z}$ para definir al “generado de $m$ y $n$,” como sigue: $$\langle {m,n} \rangle = \{nz_1 + mz_2 : z_1, z_2 \in \mathbb{Z} \}.$$ A partir de lo
Álgebra Superior II: Ideales y divisibilidad
Introducción Ya se mencionó en una anterior entrada, que $\mathbb{Z}$ es un “dominio entero”. O lo que es mismo, es un anillo conmutativo con unitario sin divisores de cero. Los dominios enteros son estructuras algebraicas que generalizan ciertas “propiedades de divisibilidad” que observamos tienen los enteros, y algo similar va a suceder con los ideales.
Álgebra Superior II: Algoritmo de la división
Introducción El algoritmo de la división nos dice que siempre que intentemos dividir dos enteros $a$, $b$, la división será exacta o en otro caso, existirá un residuo. También nos dice que siempre vamos a poder hacer esta operación para cualesquiera dos enteros y el resultado será único. Por ejemplo, tomemos $a = 2$, $b
Álgebra Superior II: Inmersión de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{Z}$.
Introducción Se suele pensar al conjunto de los números enteros como aquél que está conformado por números positivos, números negativos y el cero: $$\mathbb{Z} = \{ \ldots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \} \text{,}$$ donde, observamos, $\mathbb{Z} = \{\ldots -3, -2, -1 \}\cup \mathbb{N}$. En esta sección demostraremos que, en efecto, como
Álgebra Superior II: Propiedades del producto en $\mathbb{Z}$.
Introducción En esta entrada de blog demostraremos algunas propiedades del producto en $\mathbb{Z}$. Recordemos algunas de ellas. El producto en $\mathbb{Z}$: Está bien definido. Es conmutativo. Es asociativo. Tiene neutro. Los únicos elementos que tienen inverso multiplicativo son 1 y -1. El producto se distribuye sobre la suma. Se pueden cancelar factores distintos de cero.