El algoritmo de la divisi\u00f3n nos dice que siempre que intentemos dividir dos enteros $a$, $b$, la divisi\u00f3n ser\u00e1 exacta o en otro caso, existir\u00e1 un residuo. Tambi\u00e9n nos dice que siempre vamos a poder hacer esta operaci\u00f3n para cualesquiera dos enteros y el resultado ser\u00e1 \u00fanico.<\/p>\n\n\n\n
Por ejemplo, tomemos $a = 2$, $b = 3$. Entonces $2 \\div 3 = 3 \\cdot 0 + 2$.<\/p>\n\n\n\n
Alguien dir\u00eda que dividir $2$ entre $3$ da cero, “pues el $3$ es mayor que $2$ y no hay modo de hacer caber el $3$ en el $2$.” Y en efecto, el resultado es $0$, pero hay un residuo que no se mencion\u00f3. El residuo es, en este caso, $2$.<\/p>\n\n\n\n
O podr\u00edamos elegir $a=3$ y $b = 2$.
Tendr\u00edamos que $$3 \\div 2 = 2 \\cdot 1 + 1.$$<\/p>\n\n\n\n
Si nos pregunt\u00e1ramos: \u00bfCu\u00e1ntos equipos de 2 personas se pueden formar si hay 5 personas en total? La respuesta ser\u00eda: Podr\u00edamos formar dos equipos de 2 personas cada uno, y dejar a alguien fuera.<\/p>\n\n\n\n
Mejor quiz\u00e1, sabiendo esto, dir\u00edamos: “Hagamos un equipo de 2 personas y otro de 3, porque no queremos que nadie se quede fuera.”<\/p>\n\n\n\n
As\u00ed, el algoritmo de la divisi\u00f3n dice m\u00e1s precisamente: Dados $a, b \\in \\mathbb{Z}$, es posible encontrar $q$ y $r$ \u00fanicos, tales que $a = bq + r,$ con $0 \\leq r < |b|$. A $q$ se le llama cociente y a $r$ le llamamos residuo.<\/p>\n\n\n\n
Que no espante el valor absoluto que se le a\u00f1ade a la $b$. Esto se ir\u00e1 explicando en el presente texto, y m\u00e1s a\u00fan, antes de demostrar el teorema daremos previamente una intuici\u00f3n num\u00e9rica para que s\u00ed entendamos la demostraci\u00f3n del algoritmo de la divisi\u00f3n en $\\mathbb{Z}$. Esta receta de “algoritmo de la divisi\u00f3n” despu\u00e9s se extiende hacia otras estructuras num\u00e9ricas.<\/p>\n\n\n\n
Comencemos planteando el problema de encontrar $q$ y $r$ enteros tales que $3531 = 8q + r$, para $0 \\leq r < 8.$<\/p>\n\n\n\n
Ya que $r$ debe ser un n\u00famero muy peque\u00f1o entre $0$ y $8,$ podemos ir dando valores a $r$ hasta encontrar un $q$ que divida exactamente a $8,$ observando que $3531 \\enspace – \\enspace 8q = r$.<\/p>\n\n\n\n
Si $r = 0$, habr\u00edamos de verificar si $3531$ es m\u00faltiplo de $8.$ No es el caso, pues $8\\cdot 66 + 3 = 531$ (es un criterio de divisibilidad del 8, que si $8$ no divide al n\u00famero formado por las \u00faltimas tres cifras de $x \\in \\mathbb{Z}$, entonces $8$ no divide a $x$).<\/p>\n\n\n\n
Si $r = 1$, entonces querr\u00edamos ver si $8q = 3530$, pero $3530$ tampoco es m\u00faltiplo de $8,$ pues $530 = 8\\cdot 66 + 2$.<\/p>\n\n\n\n
Si $r = 2$, buscar\u00edamos si $8q = 3529$, pero $529 = 8 \\cdot 66 + 1$.<\/p>\n\n\n\n
Finalmente, si $r = 3$, entonces $3531 – 8q = r \\enspace \\Longrightarrow \\enspace 8q = 3528$, pues como $8\\cdot 66 = 528 $ -es decir, $528$ s\u00ed es m\u00faltiplo de $8$-, entonces $3528$ tambi\u00e9n es m\u00faltiplo de $8$. En efecto, $8\\cdot 441 = 3528$.<\/p>\n\n\n\n
Hemos encontrado $q = 441$, $r = 3$, para los que $3531 = 8q + r$, con lo que terminamos el problema.<\/p>\n\n\n\n
Geom\u00e9tricamente, esto significa que $3531$, en la recta de los n\u00fameros enteros, estar\u00e1 situado entre dos m\u00faltiplos de 8, a saber, $8\\cdot 441$ y $8\\cdot 442$:<\/p>\n\n\n\n
$$ \\ldots < 8\\cdot 441 < 3531 < 8\\cdot 442 < \\ldots \\text{.}$$<\/p>\n\n\n\n
M\u00e1s precisamente, como $3531$ es un entero positivo, el problema consisti\u00f3 en encontrar el m\u00faltiplo de $8$ m\u00e1s cercano por la izquierda y a\u00f1adir $3$ unidades; tambi\u00e9n dicho, “$3531$ est\u00e1 a $3$ unidades de distancia de ser un m\u00faltiplo de $8$ por la izquierda:”<\/p>\n\n\n\n
$$ 8\\cdot 441 < 8\\cdot 441 + 1 < 8\\cdot 441 +2 < 3531 < 8\\cdot 441 +4 < 8\\cdot 441 +5 < 8\\cdot 441 +6 < 8\\cdot 441 +7 < 8\\cdot 442 \\text{.}$$<\/p>\n\n\n\n
Generalizando a\u00fan m\u00e1s, podemos tomar alg\u00fan entero $b$ (no necesariamente el $8$) y siempre podremos situar a otro $a \\in \\mathbb{Z}$ en la recta num\u00e9rica, de tal modo que este sea m\u00faltiplo de $b$ o est\u00e9 entre dos m\u00faltiplos de $b$ que sean consecutivos, obteniendo<\/p>\n\n\n\n
$$qb \\leq a < (q+1)b, \\qquad q\\in \\mathbb{Z}.$$<\/p>\n\n\n\n
Los m\u00faltiplos de $b$ en la recta num\u00e9rica se ver\u00edan as\u00ed:<\/p>\n\n\n\n
$$\\ldots -4b, -3b, -2b, -b, 0, b, 2b, 3b, 4b, \\ldots $$<\/p>\n\n\n\n
De tal modo que $q$ ser\u00eda el mayor m\u00faltiplo de $b$ m\u00e1s cercano a $a$, sin excederse de $a$.<\/p>\n\n\n\n
Previamente a enunciar el teorema del algoritmo de la divisi\u00f3n, recordemos que, en la secci\u00f3n de n\u00fameros naturales se demostr\u00f3 el principio del buen orden:<\/p>\n\n\n\n
Principio del buen orden (PBO).<\/strong> Todo subconjunto no vac\u00edo de $\\mathbb{N}$ tiene un primer elemento que es menor que todos los dem\u00e1s.<\/p>\n\n\n\n En otras palabras, el principio del buen orden nos dec\u00eda que $\\mathbb{N}$ es un conjunto bien ordenado. Tambi\u00e9n, el principio del orden es equivalente al principio de inducci\u00f3n matem\u00e1tica, de modo que, en los axiomas de Peano, se pueden intercambiar el principio de inducci\u00f3n por el principio del buen orden (aunque suele ser m\u00e1s f\u00e1cil demostrar hechos usando inducci\u00f3n).<\/p>\n\n\n\n Tambi\u00e9n usaremos la funci\u00f3n valor absoluto al enunciar el algoritmo de la divisi\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n (Valor absoluto).<\/strong> Si $b \\in \\mathbb{Z}$, definimos el valor absoluto de $b$, denotado $|b|$, como sigue: En el algoritmo de la divisi\u00f3n nos dar\u00e1n dos n\u00fameros enteros $a$ y $b$. Para la restricci\u00f3n $0 \\leq r \\leq |b|$, suceder\u00e1 que, no importa si $b$ sea un n\u00famero positivo o negativo, nosotros nos fijaremos en el n\u00famero siempre positivo que resulta de aplicarle valor absoluto a $b$. $|b|$ siempre es un n\u00famero positivo. Lo que hace que esa desigualdad tenga sentido.<\/p>\n\n\n\n Ya con esto, podemos enunciar y demostrar el\u2026<\/p>\n\n\n\n Teorema (Algoritmo de la divisi\u00f3n en $\\mathbb{Z}$).<\/strong> Sean $a, b \\in \\mathbb{Z}$. Existen $q$ y $r$ enteros \u00fanicos tales que Demostraci\u00f3n.-<\/em> Primero hay que demostrar que siempre existen $q$ y $r$ enteros que satisfacen las condiciones que queremos.<\/p>\n\n\n\n Si $a = 0$, elegimos $q= 0 = r$. En otro caso, consideremos a $S$ un subconjunto de enteros no negativos, Mostraremos que $S \\neq \\emptyset$, para luego aplicar el principio del buen orden.<\/p>\n\n\n\n Si $a \\geq 0$, podemos elegir $q = 0$. As\u00ed, $a \\in S$, lo que implica $S\\neq \\emptyset$.<\/p>\n\n\n\n Si $a < 0$, tomando $q = a$ tenemos que $a \\enspace – \\enspace ab = a(1 \\enspace – \\enspace b)$. Como $a < 0$, entonces $1 \\enspace – \\enspace b \\leq 0,$ ya que $a \\enspace – \\enspace ab$ debe ser positivo o cero. Concluimos que $a(1 \\enspace – \\enspace b) \\in S$ y con esto, $S \\neq \\emptyset$.<\/p>\n\n\n\n As\u00ed, por el principio del buen orden, en $S$ existe un elemento m\u00ednimo.<\/p>\n\n\n\n Sea $a \\enspace – \\enspace bq = r$ tal elemento. Hay que verificar que se cumple que $0 \\leq r < |b|.$<\/p>\n\n\n\n Como $r\\in S$, entonces $r \\geq 0$.<\/p>\n\n\n\n Ahora supongamos por contradicci\u00f3n, que $r \\geq |b|$. Entonces,<\/p>\n\n\n\n \\begin{align*} r &> r \\enspace – \\enspace |b| \\\\ &= a \\enspace – \\enspace bq \\enspace – \\enspace |b| \\ & \\geq 0 \\text{,} \\end{align*}<\/p>\n\n\n\n lo que significa que hemos encontrado un elemento m\u00e1s peque\u00f1o en $S$, a saber, $a \\enspace – \\enspace bq \\enspace – \\enspace |b|$ y diferente de $r$. Pero eso contradice el hecho de que $r$ era por hip\u00f3tesis, el elemento m\u00ednimo en $S$. Concluimos entonces, que es imposible que $r \\geq |b|$. Es decir, forzosamente $r < |b|$.<\/p>\n\n\n\n Con esto queda demostrada la existencia de los enteros $q$ y $r$, tales que $a = bq + r$, con $0 \\leq r < |b|$. Falta ver la unicidad:<\/p>\n\n\n\n Supongamos que existen $q’$ y $r’$ enteros que cumplen $$a = bq’ + r’\\text{,} \\qquad \\text{con} \\qquad 0\\leq r’ \\leq |b| \\text{,}$$ y tales que $q \\neq q’$, y $r\\neq r’$.<\/p>\n\n\n\n Demostramos primero que $r = r’$.<\/p>\n\n\n\n Aqu\u00ed cabe recordar, para evitar confusiones, que para demostrar la unicidad, se suele SUPONER qu\u00e9 pasar\u00eda si existieran elementos $r$ y $r’$ distintos (la demostraci\u00f3n es por contradicci\u00f3n), lo que nos llevar\u00e1, mediante una cadena de pasos l\u00f3gicos, a que $r = r’$, lo cual contradecir\u00e1 la hip\u00f3tesis. As\u00ed, se concluir\u00e1 que $r$ es \u00fanico.<\/p>\n\n\n\n Ya que estamos suponiendo por contradicci\u00f3n, que $r \\neq r’$, entonces alguno de ellos es menor que el otro. Elijamos $0 \\leq r’ < r$, sin p\u00e9rdida de generalidad.<\/p>\n\n\n\n Tenemos por un lado, que $0 \\leq r \\enspace – \\enspace r’ < r < |b|$.<\/p>\n\n\n\n Luego, como $bq’ + r’ = a = bq + r$, entonces \\begin{alignat*}{2} &bq’ \\enspace – \\enspace bq &&= r \\enspace – \\enspace r’ \\qquad (1) \\\\ \\Longrightarrow \\enspace & b(q’ \\enspace – \\enspace q) &&= r \\enspace – \\enspace r’ \\text{.} \\end{alignat*}<\/p>\n\n\n\n Ya que $q’$ es distinto de $q$ (lo supusimos), entonces $q’ \\enspace – \\enspace q \\neq 0$. Como $r \\enspace – \\enspace r’ >0$, tambi\u00e9n tenemos que $b(q’ \\enspace – \\enspace q) > 0$, de donde $q’ \\enspace – \\enspace q > 0$. As\u00ed, $b(q’ \\enspace – \\enspace q) \\geq |b|$. Y esto implica que $r \\enspace – \\enspace r’ \\geq |b|$. Una contradicci\u00f3n, pues ya ten\u00edamos que $r \\enspace – \\enspace r’ < |b|$.<\/p>\n\n\n\n As\u00ed, concluimos que $r’ = r$. Ahora usamos este hecho para demostrar que $b’ = b:$<\/p>\n\n\n\n $r = r’$ implica que $ \\enspace r \\enspace – \\enspace r’ = 0$. De este modo, sustituyendo en $(1)$ obtenemos $bq’ \\enspace – \\enspace bq = 0$. De la ley de la cancelaci\u00f3n en $\\mathbb{Z}$, se deslinda $q’ = q$.<\/p>\n\n\n\n Esto termina de demostrar que $q$ y $r$ son \u00fanicos.<\/p>\n\n\n\n $\\square$ Entrada anterior del curso: <<Inmersi\u00f3n de $\\mathbb{N}$ en $\\mathbb{Z}$>><\/a><\/p>\n\n\n\n
$$ |b| = \\begin{cases} b & si \\enspace b\\geq 0 \\\\ -b & si \\enspace b < 0. \\end{cases} $$<\/p>\n\n\n\n
$$ a = bq + r, \\qquad \\text{con} \\qquad 0 \\leq r < |b|. $$<\/p>\n\n\n\n
$$S = \\{ a \\enspace – \\enspace bq \\enspace : \\enspace q \\in \\mathbb{Z} \\quad \\text{y} \\quad a-bq \\geq 0\\}\\text{.}$$<\/p>\n\n\n\n
$$0 = a \\enspace – \\enspace a = bq + r \\enspace – \\enspace (bq’ + r’) = bq + r \\enspace – \\enspace bq’ \\enspace – \\enspace r’ \\text{,}$$ lo que implica que<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\nEjercicios<\/h3>\n\n\n\n
Entradas relacionadas<\/h3>\n\n\n\n