En esta entrada de blog demostraremos algunas propiedades del producto en $\\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n
Recordemos algunas de ellas. El producto en $\\mathbb{Z}$:<\/p>\n\n\n\n
Algunas de estas propiedades, como la conmutatividad, asociatividad, existencia del neutro y distributividad, son aqu\u00e9llas que determinan (junto con las propiedades de la suma) que $(\\mathbb{Z}, \\widehat+, \\star)$ sea un anillo conmutativo con unitario. El resto, son propiedades adicionales, pero tambi\u00e9n relevantes, por lo que ser\u00eda bueno demostrarlas.<\/p>\n\n\n\n
El producto en $\\mathbb{Z}$ est\u00e1 bien definido.<\/strong> Ya se resolvi\u00f3 este inciso cuando se defini\u00f3 el producto en $\\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n El producto en $\\mathbb{Z}$ es conmutativo.<\/strong> <\/p>\n\n\n\n Queremos ver que $r\\star s = s \\star r \\quad \\forall \\enspace r, s \\in \\mathbb{Z}$. Sean $r = [(a,b)]$ y $s= [(c,d)]$.<\/p>\n\n\n\n \\begin{alignat*}{2} [(a,b)] \\star [(c,d)] &= [(ac + bd, ad + bc)] \\qquad &&\\text{(definici\u00f3n de producto en $\\mathbb{Z}$)} \\\\ &= [(ca + db, cb + da)] \\qquad &&\\text{(conmutatividad en $\\mathbb{N}$)}\\\\ &= [(c,d)]\\star [(a,b)]. \\qquad &&\\text{(definici\u00f3n de producto en $\\mathbb{Z}$)} \\end{alignat*}<\/p>\n\n\n\n $\\square$<\/p>\n\n\n\n El producto en $\\mathbb{Z}$ es asociativo.<\/strong><\/p>\n\n\n\n Queremos ver que $(r\\star s) \\star t = r \\star (s \\star t) \\quad \\forall \\enspace r,s,t \\in \\mathbb{Z}$. Sean $r = [(a,b)]$, $s= [(c,d)]$ y $t = [(e,f)]$. Usando la definici\u00f3n de producto en $\\mathbb{Z}$, y ley distributiva en $\\mathbb{N}$ obtenemos lo que queremos:<\/p>\n\n\n\n \\begin{align*} (r\\star s) \\star t &= [(ac + bd, ad + bc)] \\star [(e,f)] \\\\ &=[((ac + bd)e + (ad + bc)f, (ac + bd)f + (ad + bc)e)] \\\\ &= [(ace + bde + adf + bcf, acf + bdf + ade + bce)] \\\\ &= [(b (cf + de) + a (ce + df), a (cf + de) + b (ce + df) )] \\\\ &= [(a,b)] \\star [(ce + df, cf + de)] = r \\star (s \\star t). \\end{align*}<\/p>\n\n\n\n $\\square$<\/p>\n\n\n\n El producto en $\\mathbb{Z}$ tiene neutro multiplicativo<\/strong>. <\/p>\n\n\n\n Queremos ver que existe un elemento tal que $r\\star \\alpha = r \\quad \\forall \\enspace r\\in \\mathbb{Z}$. Notamos que $\\alpha = [(1,0)]:$<\/p>\n\n\n\n \\begin{align*} [(a,b)] &= [(a\\cdot 1 + b\\cdot 0, a \\cdot 0 + b \\cdot 1)] \\\\ &= [(a,b)]\\star [(1,0)]. \\end{align*}<\/p>\n\n\n\n $\\square$<\/p>\n\n\n\n Los \u00fanicos elementos que tienen inverso multiplicativo son 1 y -1.<\/strong><\/p>\n\n\n\n Antes de comenzar esta demostraci\u00f3n valdr\u00eda la pena ver que en efecto, 1 y -1 tienen inverso multiplicativo:<\/p>\n\n\n\n \\begin{align*} 1 \\star 1 = [(1,0)] \\star [(1,0)] &= [(1\\cdot 1 + 0 \\cdot 0, 1\\cdot 0 + 0 \\cdot 1)] \\\\ &= [(1,0)] = 1. \\end{align*} <\/p>\n\n\n\n De este modo, 1 es su propio inverso multiplicativo. An\u00e1logamente, el -1 es su propio inverso multiplicativo:<\/p>\n\n\n\n \\begin{align*} (-1) \\star (-1) = [(0,1)] \\star [(0,1)] &= [(0 \\cdot 0 + 1\\cdot 1, 0\\cdot 1 + 1 \\cdot 0 )] \\\\ &= [(1,0)] = 1. \\end{align*}<\/p>\n\n\n\n Ahora s\u00ed, veamos que, si $[(a,b)]$ fuera un entero con inverso multiplicativo $[(c,d)]$, necesariamente obtendremos $[(a,b)] = [(c,d)] = 1$, o $[(a,b)] = [(c,d)] = -1$:<\/p>\n\n\n\n \\begin{alignat*}{2} &[(a,b)] \\star [(c,d)] &&= [(1,0)]\\ \\\\ \\Longrightarrow \\quad &[(ac + bd, ad + bc)] &&= [(1,0)] \\ \\\\ \\Longrightarrow \\quad &\\begin{cases} ac + bd =1 \\\\ ad + bc = 0. \\end{cases} \\end{alignat*}<\/p>\n\n\n\n De que $ac + bd = 1$, tenemos que $ac = 1 – bd$. Como $ac \\in \\mathbb{N}$, entonces $bd \\in \\{0,1\\}$, pues s\u00f3lo as\u00ed, $1 – bd \\in \\mathbb{N}$. De esto emergen dos casos:<\/p>\n\n\n\n a) $\\Big( bd = 1 \\enspace \\land \\enspace ac = 0 \\Big)$, de donde se obtiene que $bd = 1 \\enspace \\Longrightarrow \\enspace b = 1$, $d =1$. Y $ac = 0 \\enspace \\Longrightarrow \\enspace a = 0 \\quad$ \u00f3 $\\quad c = 0$.<\/p>\n\n\n\n Ya que $b = d = 1$, sustituyendo en $ad + bc = 0$ tenemos que $a\\cdot 1 + 1 \\cdot c = a + c = 0$. Y como $a= 0$ \u00f3 $c= 0$, entonces $0 + c = 0$ \u00f3 $a + 0 = 0$. Conclusi\u00f3n, $a= c = 0$. As\u00ed, para este inciso, $[(a, b)] = [(c,d)] = [(0, 1)] = -1$.<\/p>\n\n\n\n b) $ \\Big( bd = 0 \\enspace \\land \\enspace ac = 1 \\Big)$, de donde se obtiene que $bd = 0 \\enspace \\Longrightarrow \\enspace b = 0$ \u00f3 $d =0$. Y $ac = 1 \\enspace \\Longrightarrow \\enspace a = 1$, $c = 1$.<\/p>\n\n\n\n Ya que $a = c = 1$, sustituyendo en $ad + bc = 0$ tenemos que $1\\cdot d + b \\cdot 1 = d + b = 0$. Y como $b= 0$ \u00f3 $d= 0$, entonces $d + 0 = 0$ \u00f3 $0 + b = 0$. Conclusi\u00f3n, $d= b = 0$. As\u00ed, para este inciso, $[(a, b)] = [(c,d)] = [(1, 0)] = 1$.<\/p>\n\n\n\n $\\square$<\/p>\n\n\n\n El producto se distribuye sobre la suma.<\/strong><\/p>\n\n\n\n Aqu\u00ed hay que notar que existen dos leyes distributivas.<\/p>\n\n\n\n Demostremos que $r\\star (s + t) = (r\\star s) \\enspace \\widehat+ \\enspace (r\\star t) \\quad \\forall \\enspace r,s, t \\in \\mathbb{Z}$. Sean $r = [(a,b)]$, $s = [(c,d)]$, $t = [(e,f)]$ enteros cualquiera. Entonces, usando la definici\u00f3n de producto en $\\mathbb{Z}$, distributividad y asociatividad en $\\mathbb{N}$ y la definici\u00f3n de suma en $\\mathbb{Z}$ tenemos que:<\/p>\n\n\n\n \\begin{align*} r \\star (s\\enspace \\widehat+ \\enspace t) &= [(a,b)]\\star [(c+e, d+f)] \\\\ &= [(a (c + e) + b (d + f), a (d + f) + b (c + e))] \\\\ &= [(ac + ae + bd + bf, ad + af + bc + be)] \\\\ &= [((ac + bd) + (ae + bf), (ad + bc) + (af + be))] \\\\ &= [(ac + bd, ad + bc)] \\enspace \\widehat+ \\enspace [(ae + bf, af + be)] \\\\ &= (r\\star s) \\enspace \\widehat+ \\enspace (r\\star t). \\end{align*}<\/p>\n\n\n\n $\\square$<\/p>\n\n\n\n Ya que la demostraci\u00f3n de la otra ley distributiva es an\u00e1loga, se deja como tarea moral.<\/p>\n\n\n\n Se pueden cancelar factores distintos de cero.<\/strong><\/p>\n\n\n\n Probaremos que $\\Big( r \\star s = r \\star t \\Big) \\Longrightarrow s = t \\quad \\forall \\enspace r, s, t \\in \\mathbb{Z}$. Sean $r = [(a,b)]$, $s= [(c,d)]$ y $t= [(e,f)]$. \\begin{alignat*}{2} & [(a,b)] \\star [(c,d)] &&= [(a,b)] \\star [(e,f)] \\\\ \\Longrightarrow \\quad & [(ac + bd, ad + bc)] &&= [(ae + bf, af + be)] \\\\ \\Longrightarrow \\quad & (ac + bd) + (af + be) &&= (ad + bc) + (ae + bf) \\\\ \\Longrightarrow \\quad & a(c + f) + b(d +e) &&= a(d+e) + b(c + f) \\end{alignat*}<\/p>\n\n\n\n Supongamos que $a \\neq b$. Entonces $a (c + f) – b (c + f) \\in \\mathbb{N}$ y $a (d +e) – b (d + e) \\in \\mathbb{N}$. As\u00ed,<\/p>\n\n\n\n \\begin{alignat*}{2} & a(c + f) + b(d +e) &&= a(d+e) + b(c + f) \\\\ \\Longrightarrow \\quad & a(c + f) – b (c + f) &&= a(d +e) – b(d +e) \\\\ \\Longrightarrow \\quad & (a – b)(c +f) &&= (a – b)(d +e) \\\\ \\Longrightarrow \\quad & c + f &&= d + e \\end{alignat*}<\/p>\n\n\n\n De lo \u00faltimo se concluye que $(c,d) \\sim (e,f)$. Es decir, $[(c,d)] = [(e,f)]$, que es lo que quer\u00edamos.<\/p>\n\n\n\n $\\square$<\/p>\n\n\n\n Producto de positivos es positivo.<\/strong><\/p>\n\n\n\n Sean $r = [(a,b)]$ y $s = [(c,d)]$, con $r,s \\in \\mathbb{Z}^+$. Queremos ver que $r \\star s \\in \\mathbb{Z}^+$.<\/p>\n\n\n\n Ya que $r = [(a,b)] \\in \\mathbb{Z}^+$, entonces $a > b$, de la definici\u00f3n de entero positivo. As\u00edmismo, como $s = [(c,d)] \\in \\mathbb{Z}^+$, tenemos que $c > d$.<\/p>\n\n\n\n De este modo, $a > b$ y $c – d > 0$. Por lo tanto, $\\square$<\/p>\n\n\n\n La multiplicaci\u00f3n por un positivo respeta el orden.<\/strong> Este inciso se deja de tarea.<\/p>\n\n\n\n La multiplicaci\u00f3n por un negativo invierte el orden.<\/strong> Este inciso tambi\u00e9n queda como ejercicio al lector.<\/p>\n\n\n\n
Tenemos que:<\/p>\n\n\n\n
$a(c-d) > b(c-d)$. As\u00ed, haciendo multiplicaciones y reagrupando, $ac + bd – (ad + bc) > 0$. Lo que implica $ac + bd > ad + bc$. De lo que finalmente se concluye que $[(ac + bd, ad + bc)] = [(a,b)] \\star [(c,d)] \\in \\mathbb{Z}^+$.<\/p>\n\n\n\nEntradas relacionadas<\/h3>\n\n\n\n