Se suele pensar al conjunto de los n\u00fameros enteros como aqu\u00e9l que est\u00e1 conformado por n\u00fameros positivos, n\u00fameros negativos y el cero: $$\\mathbb{Z} = \\{ \\ldots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \\ldots \\} \\text{,}$$ donde, observamos, $\\mathbb{Z} = \\{\\ldots -3, -2, -1 \\}\\cup \\mathbb{N}$.<\/p>\n\n\n\n
En esta secci\u00f3n demostraremos que, en efecto, como existe una funci\u00f3n inyectiva<\/p>\n\n\n\n
\\begin{align*} \\gamma : \\mathbb{N} &\\longrightarrow \\mathbb{Z} \\\\ \\text{tal que} \\qquad n &\\mapsto [(n, 0)], \\end{align*}<\/p>\n\n\n\n
entre los naturales y las clases $[(n,0)] \\in \\mathbb{Z}$, podemos considerar que los naturales son subconjunto de los enteros. M\u00e1s a\u00fan, las propiedades de suma y producto de naturales se respetan bajo la funci\u00f3n, el neutro aditivo tambi\u00e9n es enviado al neutro aditivo, el neutro multiplicativo es enviado al neutro multiplicativo, y asimismo se respeta el orden ($n < m$ implica que $[(n, 0)] <^* [(m,0)]$). M\u00e1s a\u00fan, se puede pensar que los n\u00fameros negativos en $\\mathbb{Z}$, $\\{\\ldots , -2, -1\\}$ son otra copia de $\\mathbb{N}\\backslash \\{0\\}$ que tambi\u00e9n est\u00e1 metida en $\\mathbb{Z}$, pues hay tantos “naturales” positivos en $\\mathbb{Z}$, como enteros negativos en $\\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n
En esta entrada de blog demostramos estas cosas.<\/p>\n\n\n\n
Lema 1.<\/strong> $\\gamma (n) = [(n,0)]$ es inyectiva.<\/p>\n\n\n\n Dem.- Sea $[(n,0)] = [(m,0)]$. Entonces $(n,0) \\sim (m,0)$, por lo que $n + 0 = m + 0$. Como $0$ es neutro aditivo en $\\mathbb{N}$, entonces $n = m$.<\/p>\n\n\n\n $\\square$ \u00bfSer\u00e1 $\\gamma (n) = [(n,0)]$ suprayectiva?<\/p>\n\n\n\n No lo es. Para que s\u00ed lo fuera, tendr\u00eda que ocurrir que $\\gamma (n) = \\mathbb{Z}$ (usando la definici\u00f3n de funci\u00f3n suprayectiva). Sin embargo, $\\gamma(n)$ est\u00e1 contenida propiamente en $\\mathbb{Z}$. Es decir, hay enteros diferentes de $[(n,0)]$, a saber, aqu\u00e9llos en donde $[(a,b)] \\in \\mathbb{Z}$ y $b \\neq 0$.<\/p>\n\n\n\n Aunque si modific\u00e1ramos al codominio de $\\gamma$ por $ \\mathbb{Z}\\restriction_{[(n,0)]}$, es decir, $\\mathbb{Z}$ restringido a los enteros de la forma $[(n,0)]$, entonces la funci\u00f3n s\u00ed ser\u00eda biyectiva, pues siempre podr\u00edamos elegir cualquier $[(n,0)] \\in \\mathbb{Z} \\restriction_{[(n,0)]}$ y decir que su preimagen es $n$.<\/p>\n\n\n\n Pero regresando a la funci\u00f3n original, ahora veamos que, la suma y producto de dos n\u00fameros naturales se respetan en los enteros.<\/p>\n\n\n\n Lema 2.<\/strong> $\\gamma (n + m) = \\gamma(n)\\enspace \\widehat+ \\enspace \\gamma (m) \\qquad \\forall \\enspace n,m \\in \\mathbb{N} .$<\/p>\n\n\n\n Dem.- $\\gamma (n + m) = [(n + m, 0)]$. Luego, $$ \\quad \\enspace [(n + m, 0)] = [(n + m, 0 + 0)] = [(n, 0)] \\enspace \\widehat+ \\enspace [(m, 0)] \\text{.}$$<\/p>\n\n\n\n $\\square$ Lema 3.<\/strong> $\\gamma (n \\cdot m) = \\gamma(n) \\star \\gamma (m) \\qquad \\forall \\enspace n,m \\in \\mathbb{N}.$<\/p>\n\n\n\n Dem.- $\\gamma(n\\cdot m) = [(n\\cdot m, 0)] = [(n\\cdot m + 0\\cdot 0, m\\cdot 0 + 0\\cdot n)] = [(n, 0)]\\star [(m, 0)] = \\gamma(n) \\star \\gamma(m).$<\/p>\n\n\n\n $\\square$ Ahora veamos que el neutro aditivo en $\\mathbb{N}$ va al neutro aditivo en $\\mathbb{Z}$ y el neutro multiplicativo en $\\mathbb{N}$ tambi\u00e9n va al correspondiente neutro multiplicativo en $\\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n Lema 4.<\/strong> $\\gamma(0) = [(0,0)]$.<\/p>\n\n\n\n Dem.- Se sigue directamente de la definici\u00f3n de $\\gamma$.<\/p>\n\n\n\n $\\square$<\/p>\n\n\n\n Lema 5.<\/strong> $\\gamma(1) = [(1,0)]$.<\/p>\n\n\n\n Dem.- Se sigue directamente de la definici\u00f3n de $\\gamma$.<\/p>\n\n\n\n $\\square$ Ahora veamos que el orden de los naturales se respeta en $\\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n Lema 6.<\/strong> $n < m$ si y s\u00f3lo si $\\gamma(n) <^* \\gamma(m) \\qquad \\forall \\enspace n, m \\in \\mathbb{N}$.<\/p>\n\n\n\n Dem.- $$n < m \\iff [(m, 0)] \\enspace \\widehat+ \\enspace [(0,n)] \\in \\mathbb{Z}^+ \\text{,}$$ $\\square $ Los 6 lemas que acabamos de ver, bien pueden conformar un teorema, donde cada uno de los lemas fuera un inciso:<\/p>\n\n\n\n Teorema (Inmersi\u00f3n de $\\mathbb{N}$ en $\\mathbb{Z}$).<\/strong> Existe una funci\u00f3n inyectiva Dem.- Ya se hizo la demostraci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n $\\square $ La siguiente proposici\u00f3n es importante pues tiene como consecuencia que hay metidas dos copias de n\u00fameros naturales en $\\mathbb{Z}$ (sin contar el cero).<\/p>\n\n\n\n Proposici\u00f3n.<\/strong> Para cualquier $[(a,b)] \\in \\mathbb{Z}$ existe $n \\in \\mathbb{N}$ tal que<\/p>\n\n\n\n Dem.- Sea $[(a, b)] \\in \\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n Caso 1) Si $a = 0 = b$, entonces elegimos $n = 0$, y, trivialmente, $[(0, 0)] \\in [(0,0)]$.<\/p>\n\n\n\n Caso 3) Sea $a > b$. De la definici\u00f3n de orden en $\\mathbb{N}$, existe $k \\in \\mathbb{N} $ tal que $a = b + k$. Caso 4) Sea $b > a$. De la definici\u00f3n de orden en $\\mathbb{N}$, existe $k \\in \\mathbb{N} $ tal que $b = a + k$. $\\square $ La proposici\u00f3n anterior es una manera de ilustrar en particular, que hay el mismo n\u00famero de n\u00fameros naturales positivos como n\u00fameros enteros negativos (caso 4 de nuestra prueba), pues a cada entero $[(a,b)] \\in \\mathbb{Z}^-$ (es decir, a todo entero negativo) le podemos asociar una ecuaci\u00f3n de la forma $b = a + k $, donde, eligiendo $k = n$, con $k \\in \\mathbb{N}$, tambi\u00e9n ello significa asociarle un n\u00famero natural $n$ a cada entero en $\\mathbb{Z}^-$. Esto es una biyecci\u00f3n, pues si tomamos que el dominio de tal funci\u00f3n sea $\\mathbb{Z}^-$, la $k$ barre todos los naturales. Y podemos pensarlo tambi\u00e9n de manera inversa; es decir, eligiendo como dominio $\\mathbb{N}$, contradominio $\\mathbb{Z}^-$ y a $b = a + k$ como regla de correspondencia. Ya sabemos que todos los enteros en $\\mathbb{Z}^-$ son todos de esta forma. Es decir, la funci\u00f3n es inyectiva y suprayectiva.<\/p>\n\n\n\n Este hecho no se debe interpretar como que “la cardinalidad de $\\mathbb{Z}$ es distinta de la cardinalidad de $\\mathbb{N}$.” Por el contrario, $|\\mathbb{Z}| = |\\mathbb{N}|$. <\/p>\n\n\n\n
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de la definici\u00f3n de n\u00famero positivo en $\\mathbb{Z}$ y expandiendo el t\u00e9rmino en una suma. Esto equivale a decir que
$$n < m \\iff [(m, 0)] \\enspace \\widehat+ \\enspace (-[(n,0)]) \\in \\mathbb{Z}^+ \\text{.}$$
Finalmente, de la definici\u00f3n de orden en los enteros,
$$ n < m \\iff [(n, 0)] <^* [(m,0)] \\text{,}$$
que es lo que se quer\u00eda.<\/p>\n\n\n\n
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\\begin{align*} \\gamma : \\mathbb{N} &\\longrightarrow \\mathbb{Z} \\\\ \\text{tal que} \\qquad n &\\mapsto [(n, 0)], \\end{align*}
de los n\u00fameros naturales en los enteros, que respeta la suma, el producto, el neutro aditivo, el neutro multiplicativo, al igual que respeta el orden.<\/p>\n\n\n\n
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Queremos que $[(n, 0)] \\sim [(a,b)]$. Se debe cumplir pues, que $n + b = 0 + a = a$. As\u00ed, elijamos $n = k$. De este modo, $[(n, 0)] = [(a, b)]$. En particular, $[(n,0)] \\in [(a,b)]$.<\/p>\n\n\n\n
Queremos que $[(0, n)] \\sim [(a,b)]$. Se debe cumplir pues, que $0 + b = n + a$. Escogemos $n = k$. De este modo, $[(0, n)] = [(a, b)]$. En particular, $[(0,n)] \\in [(a,b)]$.<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\nEjercicios<\/h3>\n\n\n\n
Entradas relacionadas<\/h3>\n\n\n\n