<<construcci\u00f3n de los n\u00fameros enteros>><\/a> se dej\u00f3 de tarea demostrar que $(\\mathbb{Z}, \\widehat+)$ es un grupo abeliano. Aqu\u00e9llo sal\u00eda de la necesidad de mostrar las propiedades con que los n\u00fameros enteros operan bajo la suma, esas mismas que usamos para hacer cuentas b\u00e1sicas. Para hacer tal prueba, era necesario usar una nueva y muy locochona definici\u00f3n de entero y otra de suma en los enteros.<\/p>\n\n\n\nAhora mostraremos que existe un neutro aditivo en $\\mathbb{Z}$. Es decir, queremos ver que:<\/p>\n\n\n\n
$\\exists \\enspace \\overline{0} \\in \\mathbb{Z} \\enspace \\forall r \\in \\mathbb{Z} \\enspace \\Big( r + \\overline{0} = \\overline{r} \\Big) $.<\/p>\n\n\n\n
Antes escribir la prueba, ser\u00eda bueno determinar qui\u00e9n es un buen candidato para ser el neutro aditivo en $\\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n
Sea $r = [(a, b)]$. La notaci\u00f3n $[(a,b)]$ abrevia el hecho de que $a = b + x$, para $a, b , x \\in \\mathbb{N}$ (ver la entrada de blog anterior).<\/p>\n\n\n\n
Queremos sumarle a $r$ algo que lo deje exactamente igual. Como existe el neutro aditivo en $\\mathbb{N}$, se antoja que $(a + p) = (b + q) + x$ implique que $p = 0$ y $q = 0$. As\u00ed, $[(a + p, b + q)] = [(a + 0, b + 0)] = [(a,b)] \\enspace \\widehat+ \\enspace [(0,0)]$.<\/p>\n\n\n\n
Ahora s\u00ed, escribamos bien la demostraci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n
Dem.-<\/em> Sea $r = [(a, b)]$, y propongamos $\\overline{0} = [(0,0)]$.<\/p>\n\n\n\n\\begin{align*} [(a, b)] \\enspace \\widehat+ \\enspace [(0,0)] &= [(a + 0, b + 0)] \\qquad \\quad \\text{(definici\u00f3n de suma en $\\mathbb{Z}$)} \\\\ &= [(a,b)] \\qquad\\qquad\\qquad \\enspace \\text{(neutro aditivo en $\\mathbb{N}$)} \\end{align*}<\/p>\n\n\n\n
$\\square$
<\/p>\n\n\n\n
Usar $[(0,0)]$ en la demostraci\u00f3n anterior se ocurre muy naturalmente. Sin embargo, recordemos que $[(0,0)]$ se est\u00e1 refiriendo a toda una colecci\u00f3n de n\u00fameros; a saber, todos los $a,b \\in \\mathbb{N}$ para los que en la ecuaci\u00f3n $a = b + x$, se cumpla que $x = 0$.<\/p>\n\n\n\n
En efecto,
\\begin{align*} [(0,0)] \\enspace &\\Longrightarrow \\enspace 0 = 0 + x \\\\ &\\Longrightarrow\\enspace x = 0 \\\\ \\text{Luego, } \\\\ 0 &= 0 + x \\\\ k + 0 &= k + 0 + x \\\\ k &= k + x \\qquad \\qquad \\qquad \\enspace \\text{(neutro aditivo en $\\mathbb{N}$)} \\\\ \\text{As\u00ed, } \\\\ 0 &= k \\enspace – \\enspace k = x \\qquad \\forall k \\in \\mathbb{N}. \\end{align*}<\/p>\n\n\n\n
Es decir, $ [(0,0)] = [(k,k)]$.<\/p>\n\n\n\n
Adem\u00e1s,<\/p>\n\n\n\n
Proposici\u00f3n.<\/strong> El neutro aditivo en $\\mathbb{Z}$ es \u00fanico.<\/p>\n\n\n\nDem.-<\/em> Queremos demostrar que s\u00f3lo hay un neutro aditivo. Podemos entonces suponer que hay otro que es distinto de $\\overline{0}$ y ver qu\u00e9 sucede.<\/p>\n\n\n\nSea $r = [(a,b)] \\in \\mathbb{Z}$. Y sea $[(e,f)]$ un neutro aditivo en $\\mathbb{Z}$. Entonces<\/p>\n\n\n\n
$$[(a,b)] \\enspace \\widehat+ \\enspace [(e,f)] = [(a + e, b + f)] = [(a,b)].$$<\/p>\n\n\n\n
Como el neutro aditivo es \u00fanico en $\\mathbb{N}$, entonces $a + e = a \\enspace \\Longrightarrow \\enspace e = 0 $. Y $b + f = b \\enspace \\Longrightarrow \\enspace f = 0 $.<\/p>\n\n\n\n
$$\\therefore \\enspace [(e,f)] = [(0,0)] .$$<\/p>\n\n\n\n
$\\square$
<\/p>\n\n\n\n
Ahora demostraremos que, para cada entero existe su inverso aditivo. Primero se nos tiene que ocurrir a qui\u00e9n proponer como inverso. Muy f\u00e1cil: ya que la suma de dos n\u00fameros naturales tambi\u00e9n es un n\u00famero natural, podemos elegir $k = a + b = b +a$.<\/p>\n\n\n\n
Proposici\u00f3n.<\/strong> $\\forall \\enspace r \\in \\mathbb{Z} \\enspace \\exists \\enspace -r \\in \\mathbb{Z} \\enspace \\Big( \\enspace r \\enspace \\widehat+ \\enspace (-r) = \\overline{0} \\enspace \\Big) $.<\/p>\n\n\n\nDem.-<\/em> Sea $r = [(a, b)]$, y propongamos $-r = [(b, a)]$. Entonces,<\/p>\n\n\n\n\\begin{align*} [(a, b)] \\enspace \\widehat+ \\enspace [(b, a)] &= [(a+ b, b+a)] \\\\ &= [(k,k)] \\\\ &= [(0,0)] \\end{align*}<\/p>\n\n\n\n
$\\square$<\/p>\n\n\n\n
El producto en $\\mathbb{Z}$<\/h3>\n\n\n\n
Mencion\u00e1bamos en nuestra previa entrada de blog que en $\\mathbb{Z}$ hay una suma y un producto, y que $(\\mathbb{Z}, \\widehat+ , \\star)$ es dominio entero. No hab\u00edamos antes dado la definici\u00f3n del producto en $\\mathbb{Z}$:<\/p>\n\n\n\n
Definici\u00f3n.<\/strong> El producto <\/strong>en $\\mathbb{Z}$ es la funci\u00f3n<\/p>\n\n\n\n\\begin{align*} \\star : \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} &\\longrightarrow \\mathbb{Z} \\\\ \\\\ \\text{tal que} \\qquad [(a,b)]\\star [(c,d)] &= [(ac + bd, ad + bc)], \\end{align*}<\/p>\n\n\n\n
donde la multiplicaci\u00f3n $[(a,b)]\\star [(c,d)]$ equivaldr\u00e1 a que, para $a = b + x$, $c = d + y,$ se tendr\u00e1 que $[(ac + bd, ad + bd)]$ representa a la ecuaci\u00f3n con soluci\u00f3n $xy$,
$$ac + bd = ad + bc + xy \\text{.}$$<\/p>\n\n\n\n
Ahora habr\u00eda que demostrar que el producto en $\\mathbb{Z}$ est\u00e1 bien definido; es decir, es el mismo independientemente de los representantes que se elijan para realizar la multiplicaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n
Proposici\u00f3n.<\/strong> El producto en $\\mathbb{Z}$ est\u00e1 bien definido.<\/p>\n\n\n\nDem.-<\/em> Sean $[(a,b)] = [(e,f)]$ y $[(c,d)] = [(g,h)]$, para $[(a,b)], [(c,d)] \\in \\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\nComo $(a,b) \\sim (e,f)$, entonces $$ a + f = b + e \\text{.}$$
Tambi\u00e9n, $(c,d) \\sim (g,h)$, implica que $$c + h = d + g \\text{.}$$<\/p>\n\n\n\n
Usando la definici\u00f3n de producto de dos enteros, se tiene por un lado que
$$ [(a,b)]\\star [(c,d)] = [(ac + bd, ad + bc)] \\text{.}$$<\/p>\n\n\n\n
Por otro lado, tenemos<\/p>\n\n\n\n
$$[(e,f)]\\star [(g,h)] = [(eg + fh, eh + fg )] \\text{.}$$<\/p>\n\n\n\n
Debemos demostrar que $[(ac + bd, ad + bc)] = [(eg + fh, eh + fg )]$. Es decir, que como ambos n\u00fameros ser\u00e1n iguales, estar\u00e1n en la misma clase de equivalencia, por lo que se cumplir\u00e1
$$ (ac + bd) + (eh + fg) = (ad + bd) + (eg + fh )\\text{.}$$<\/p>\n\n\n\n
La hip\u00f3tesis es que $(a,b) \\sim (e,f)$ y $(c,d) \\sim (g,h)$. As\u00ed, multipliquemos
\\begin{align*} (a + f) (c+h) &= (b+e)(d +g) \\\\ ac + ah + fc + fh &= bd + bg + ed + eg. \\end{align*}<\/p>\n\n\n\n
Sumamos $bd + fh$ en ambos lados de la ecuaci\u00f3n y usando nuevamente las hip\u00f3tesis, obtenemos lo que queremos:<\/p>\n\n\n\n
\\begin{align*} (bd + fh) + ac + ah + fc + fh &= (bd + fh) + bd + bg + ed + eg \\\\ (ac + bd) + h(a + f) + f(c + h) &= b(d + g) + d(b +e) + (eg + fh) \\\\ (ac + bd) + h (b + e) + f (d + g) &= b(c + h) + d(a + f) + (eg + fh) \\\\ (ac + bd + eh + fg) + hb + df &= (bc + ad + eg + fh) + hb + df \\\\ ac + bd + eh + fg &= bc + ad + eg + fh. \\end{align*}<\/p>\n\n\n\n
$\\square$
<\/p>\n\n\n\n
Ya que hemos definido el producto en los enteros, se te quedar\u00eda de tarea mostrar las propiedades de que \u00e9ste es asociativo, conmutativo, existe un neutro multiplicativo y se cumplen las leyes distributivas.<\/p>\n\n\n\n
El orden en $\\mathbb{Z}$<\/h3>\n\n\n\n
En el apartado de n\u00fameros naturales que escribi\u00f3 Roberto, ya se vieron definiciones y resultados para el orden en $\\mathbb{N}$. En particular, definimos para $a$ y $b$ naturales,<\/p>\n\n\n\n
\\begin{align*}
a < b \\iff \\enspace \\exists \\enspace k \\in \\mathbb{N}\\backslash \\{0\\} \\enspace \\text{tal que} \\enspace a + k = b \\text{.}
\\end{align*}<\/p>\n\n\n\n
De aqu\u00ed que, $[(a,b)] \\in \\mathbb{Z}$ implica que $b < a$. Luego, $[(b,a)] \\in \\mathbb{Z}$ implica que $a < b$.<\/p>\n\n\n\n
Ya sabemos pues, que, si $a$ y $b$ son n\u00fameros naturales, entonces pasa una y s\u00f3lo una de las siguientes tres opciones:
\\begin{equation}
(a < b) \\enspace \\lor \\enspace (a = b) \\enspace \\lor \\enspace (b < a) \\text{.}
\\end{equation}<\/p>\n\n\n\n
De esto que si $a \\neq b$, necesariamente se tendr\u00e1 $[(a,b)] \\neq [(b,a)]$. Y si $a = b$, entonces $[(a,b)] = [(0,0)]$.<\/p>\n\n\n\n
Y a partir de esta intuici\u00f3n definir\u00edamos el orden en $\\mathbb{Z}$ (que ya sabemos, en $\\mathbb{Z}$ debieran figurar n\u00fameros positivos, n\u00fameros negativos y el cero): Primero nos tomamos $a, b \\in \\mathbb{N}$. Si $a \\neq b$, entonces $[(a, b)]$ ser\u00e1 positivo o $[(b,a)]$ ser\u00e1 positivo (s\u00f3lo uno de los dos ser\u00e1 positivo, y esto es consecuencia de (2)). En otro caso, $a = b,$ lo que nos llevar\u00e1 a la clase del $\\overline{0} = [(0,0)],$ necesariamente.<\/p>\n\n\n\n
Basta entonces tomar en consideraci\u00f3n los puntos anteriores y definir lo que ser\u00e1 un n\u00famero positivo en $\\mathbb{Z}$, para determinar lo que ser\u00e1 el orden en $\\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n
Definici\u00f3n.<\/strong> Sea $[(a,b)] \\in \\mathbb{Z}$. Definimos la clase de los enteros positivos, denotado $\\mathbb{Z}^+$, como sigue: $$[(a,b)] \\in \\mathbb{Z}^+ \\enspace \\iff \\enspace a > b \\text{.}$$<\/p>\n\n\n\nProposici\u00f3n.<\/strong> Para cada $z \\in \\mathbb{Z} $ sucede una y s\u00f3lo una de las siguientes proposiciones:<\/p>\n\n\n\n- $[(a,b)] \\in \\mathbb{Z}^+$,<\/li>
- $[(a,b)] = [(0,0)]$,<\/li>
- $-[(a,b)] = [(b,a)] \\in \\mathbb{Z}^+$.<\/li><\/ol>\n\n\n\n
La demostraci\u00f3n de este hecho ya la hice en los p\u00e1rrafos anteriores, s\u00f3lo que de manera un poquito informal. Si no la entendiste, intenta t\u00fa mism@ realizarla y escribirla.<\/p>\n\n\n\n
Finalmente, definimos el orden en $\\mathbb{Z}$ como sigue:<\/p>\n\n\n\n
Definici\u00f3n.<\/strong> Definimos la relaci\u00f3n binaria $<^*$ en $\\mathbb{Z}$ por $$ [(c,d)] <^*[(a,b)] \\enspace \\text{si y s\u00f3lo si} \\enspace [(a,b)] \\enspace \\widehat+ \\enspace (- [(c,d)]) \\in \\mathbb{Z}^+ \\text{.}$$<\/p>\n\n\n\n