Ya se mencion\u00f3 en una anterior entrada, que $\\mathbb{Z}$ es un “dominio entero”. O lo que es mismo, es un anillo conmutativo con unitario sin divisores de cero. Los dominios enteros son estructuras algebraicas que generalizan ciertas “propiedades de divisibilidad” que observamos tienen los enteros, y algo similar va a suceder con los ideales. Digamos entonces que un dominio entero ser\u00e1 un espacio donde trabajar, dotado con ciertas operaciones y propiedades, mientras que los ideales ser\u00e1n elementos que ah\u00ed vivan, subconjuntos del dominio entero, pero que cumplan unas condiciones adicionales a las de ser subanillos de un anillo (un dominio entero es un anillo). Habr\u00e1n clasificaciones para ideales, destac\u00e1ndose los ideales principales<\/strong>, ideales primos<\/strong> e ideales maximales<\/strong>. Por ejemplo, los ideales primos en $\\mathbb{Z}$ ser\u00e1n los subconjuntos de $\\mathbb{Z}$ que sean m\u00faltiplos de un n\u00famero primo dado. Es decir, son de la forma $p\\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n En la materia de \u00c1lgebra Moderna I del quinto semestre de la carrera de matem\u00e1ticas se estudian los grupos, y se ve que en los enteros se pueden hallar tanto grupos, como subgrupos, subgrupos c\u00edclicos, subgrupos normales o subgrupos factores. Se ven otros tipos de grupos, y adem\u00e1s los “teoremas de isomorfismos en grupos”. Ya un estudio riguroso de los anillos y por ende, tambi\u00e9n de los ideales, se da en \u00c1lgebra Moderna II. Para los anillos tambi\u00e9n existir\u00e1n teoremas de isomorfismos y se podr\u00e1 hacer la analog\u00eda de que los subgrupos normales de un grupo ser\u00e1n lo que los ideales a un anillo. Y as\u00ed como, dado un subgrupo normal $H$ de un grupo $G$ se puede “construir el grupo cociente $G \/ H $”, tambi\u00e9n suceder\u00e1 que, dado un ideal $I$ de un anillo $R$ ser\u00e1 posible construir el “anillo cociente $R \/ I$”.<\/p>\n\n\n\n Este texto s\u00f3lo planea ser una breve introducci\u00f3n al concepto de ideal, y aqu\u00ed ser\u00eda apropiado pensar en que $\\mathbb{Z}$ es un anillo (m\u00e1s a\u00fan un dominio entero, y m\u00e1s a\u00fan, un dominio de ideales principales), donde algunos de sus subconjuntos son ideales.<\/p>\n\n\n\n Intuitivamente sabemos que un entero $n$ siempre se podr\u00e1 expresar como producto de potencias de n\u00fameros primos y esta factorizaci\u00f3n es \u00fanica (se demostrar\u00e1 pronto). Por ejemplo, $150 = (3\\cdot 2) \\cdot 5^2 $. As\u00ed, si quisieramos saber en qu\u00e9 ideal de $\\mathbb{Z}$ vive el n\u00famero $150$, basta observar su factorizaci\u00f3n en primos. Tenemos que $150 \\in 2\\mathbb{Z}$, tambi\u00e9n $150 \\in 3\\mathbb{Z}$ y $150 \\in 5\\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n A algunos polinomios $K[x]$, con coeficientes en un campo $K$, se les podr\u00e1 factorizar como un producto de polinomios irreducibles en $K[x]$, donde la suma de los grados de estos polinomios sea menor al grado del polinomio inicial. Diremos que esos factores ser\u00e1n ideales primos en el anillo.<\/p>\n\n\n\n Y an\u00e1logamente, en las extensiones cuadr\u00e1ticas, es decir anillos de la forma $Q[\\sqrt{D}],$ tambi\u00e9n podremos hablar de los ideales, ideales primos e ideales maximales que ah\u00ed viven. Esa es la necesidad de extender la “divisibilidad” a algo m\u00e1s abstracto que los n\u00fameros enteros, pero la noci\u00f3n de dominio entero tiene sus ra\u00edces en c\u00f3mo se comporta $\\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n As\u00ed que, lo que aqu\u00ed sea tal vez mejor, ser\u00e1 ir dando las definiciones de ciertas estructuras algebraicas relacionadas con los ideales, yendo desde lo m\u00e1s simple hasta lo m\u00e1s complicado, y hasta llegar a lo que queremos.<\/p>\n\n\n\n Primero digamos qu\u00e9 son una operaci\u00f3n binaria, un semigrupo, un monoide y un grupo:<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n (Operaci\u00f3n binaria).<\/strong> Sea $A$ un conjunto no vac\u00edo. Una operaci\u00f3n binaria $\\star$ en $A$, es una funci\u00f3n del producto cartesiano $A\\times A$ en $A$. Se denota $$ \\star: A\\times A \\longrightarrow A. $$<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n (Semigrupo).<\/strong> Decimos que la operaci\u00f3n $ \\star: A\\times A \\longrightarrow A$ es asociativa si Definici\u00f3n (Monoide).<\/strong> Una terna $(A, \\star, e)$ es un monoide, si $(A, \\star)$ es semigrupo y $e$ es neutro para $\\star$.<\/p>\n\n\n\n En otras palabras, un monoide es un semigrupo en el que existe un elemento neutro.<\/p>\n\n\n\n Luego, a un grupo le pediremos a\u00fan m\u00e1s cosas. Ser\u00e1 un semigrupo, pues cumplir\u00e1 la asociatividad. Ser\u00e1 un monoide, pues existir\u00e1 un elemento neutro. La cerradura tambi\u00e9n la cumplir\u00e1 (eso no se hereda de que la operaci\u00f3n $\\star$ sea binaria, pues podr\u00eda la operaci\u00f3n estar definida para algunos elementos mas no para todos). Y adem\u00e1s de esto, pediremos que en un grupo existan elementos inversos:<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n (Grupo).<\/strong> Un grupo es un conjunto no vac\u00edo $G$, en donde hay definida una operaci\u00f3n binaria $\\star$, que satisface:<\/p>\n\n\n\n Ejemplo.<\/em> $(\\mathbb{Z}, \\widehat+)$ es un grupo. Es decir, cumple la definici\u00f3n de ser grupo, y m\u00e1s a\u00fan, cumple la propiedad de ser un grupo conmutativo o abeliano:<\/strong> $a\\star b = b\\star a \\enspace \\forall \\enspace a,b \\in G$.<\/p>\n\n\n\n Sin embargo, grupos hay muchos, como $S_n$ el grupo de las permutaciones, $D_n$ el grupo di\u00e9drico, $Q_8$ el grupo de los cuaterniones, $\\mu_{\\mathbb{C}}$ el grupo de las transformaciones de M\u00f6bius, $PSL(2, \\mathbb{C})$ el grupo de matrices complejas $2\\times 2$ con determinante m\u00f3dulo $1$, $\\Gamma$ el grupo kleiniano, entre otros. De tal modo que $(\\mathbb{Z}, \\widehat+)$, dentro de la teor\u00eda de grupos, simplemente ser\u00e1 un caso particular de grupo.<\/p>\n\n\n\n Pero ya que estamos estudiando a los enteros, por ahora nos interesa centrar nuestra atenci\u00f3n en $(\\mathbb{Z}, \\widehat+)$, y tambi\u00e9n en $(\\mathbb{Z}_n, \\widehat+)$ el grupo de los enteros m\u00f3dulo $n$. Y quiz\u00e1 tambi\u00e9n en alguna otra estructura num\u00e9rica que involucre a los n\u00fameros enteros, como pudieran ser $\\mathbb{Z}[i]$ los enteros gaussianos, $\\mathbb{Z}[x]$ los polinomios de coeficientes enteros o alguna otra cosa por el estilo.<\/p>\n\n\n\n Ahora veamos lo que es un subgrupo.<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n (Subgrupo).<\/strong> Un subgrupo $S$ de un grupo $G$ es un subconjunto de $G$ que tambi\u00e9n es grupo.<\/p>\n\n\n\n Ejemplos.<\/em> $\\mathbb{Z}$ es un subgrupo de s\u00ed mismo. Tambi\u00e9n ${\\overline{0}} \\subseteq \\mathbb{Z}$, es subgrupo de $\\mathbb{Z}$. Y en realidad, todos los subgrupos de $\\mathbb{Z}$ son de la forma: $$\\langle n \\rangle :=\\{ n\\mathbb{Z} : n \\in \\mathbb{Z} \\}. $$<\/p>\n\n\n\n Observamos que $ n\\mathbb{Z}$ se refiere a los m\u00faltiplos de alg\u00fan $n$. De modo que, para $n = 0,$ tenemos que $ \\langle 0 \\rangle = {\\overline{0}}$; para $n = 1$, se tiene $\\langle 1 \\rangle = 1\\cdot \\mathbb{Z} = \\mathbb{Z}$; para $n =2$, $ \\langle 2 \\rangle = 2\\mathbb{Z}$ los enteros pares; para $n=3$, $\\langle 3 \\rangle = 3\\mathbb{Z}$ los enteros m\u00faltiplos de $3$, y as\u00ed sucesivamente. Adem\u00e1s de, por supuesto, la operaci\u00f3n que acompa\u00f1a a estos subgrupos es la suma.<\/p>\n\n\n\n Demostremos que<\/p>\n\n\n\n Teorema 1.<\/strong> Todos los subgrupos de $\\mathbb{Z}$ son de la forma $$\\langle n \\rangle :=\\{ n\\mathbb{Z} : n \\in \\mathbb{Z} \\}. $$<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> Sea $H$ un subgrupo de $\\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n Si $H = 0$, entonces $0 \\in \\mathbb{Z}$ lo genera.<\/p>\n\n\n\n As\u00ed, sea $H$ un subgrupo distinto del trivial. Como $H$ es subgrupo, para todo elemento $n$ en $H$, su inverso $-n$ tambi\u00e9n estar\u00e1 en $H$, y alguno ellos ser\u00e1 positivo. As\u00ed aseguramos que existe $n \\in H$ estrictamente positivo.<\/p>\n\n\n\n Observamos que $\\{ n\\mathbb{Z} : n \\in \\mathbb{Z} \\} \\neq \\emptyset$, pues $n\\cdot 1$ est\u00e1 ah\u00ed. Y por el principio del buen orden, podemos tomar $n$ el m\u00ednimo elemento positivo de este conjunto.<\/p>\n\n\n\n Ahora elijamos $b$ un elemento arbitrario de $H$. Por el algoritmo de la divisi\u00f3n sabemos que podemos escribir $b = nq + r$, con $q, r \\in \\mathbb{Z}$, y tales que $0 \\leq r < n$. Ya que $b \\in H$ y $n \\in H$, sabemos que $r = b-nq \\in H$, por ser la operaci\u00f3n cerrada en $H$. Como $0 \\leq r < n$ y $n$ es el m\u00ednimo elemento positivo de $H$, forzosamente $r = 0$. As\u00ed, $b = nq$. Esto demuestra que cualquier elemento de $H$ es de la forma $nq$, con $q \\in \\mathbb{Z}$. Por lo tanto, cualquier subgrupo de $\\mathbb{Z}$ es un $n\\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n $\\square$<\/p>\n\n\n\n Como veremos unos p\u00e1rrafos m\u00e1s abajo, la notaci\u00f3n $\\langle n \\rangle$ indica que s\u00f3lo se necesitar\u00e1 un \u00fanico elemento en $\\mathbb{Z}$ para generar todo un subgrupo de $\\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n Ahora veamos lo que es un subgrupo normal, m\u00e1s un teorema para caracterizar a los subgrupos normales de un grupo abeliano:<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n (Subgrupo normal).<\/strong> Sea $G$ un grupo. Uns subgrupo $H$ de $G$ se llama subgrupo normal de $G$, denotado $H\\trianglelefteq G$, si $aH = Ha$.<\/p>\n\n\n\n Teorema 2.<\/strong> Sean $G$ un grupo abeliano y $H \\leq G$. Entonces $H \\trianglelefteq G.$<\/p>\n\n\n\n No demostraremos el teorema 2 aqu\u00ed, pero de \u00e9l podemos concluir que, ya que $(\\mathbb{Z}, \\widehat+)$ es grupo abeliano, entonces todos los subgrupos de $\\mathbb{Z}$ son subgrupos normales.<\/p>\n\n\n\n Como ejercicio moral, piensa en si, para toda $n \\in \\mathbb{Z}$, se tiene que $(\\mathbb{Z}_n, \\widehat+)$ es grupo e intenta encontrar los subgrupos y subgrupos normales de aqu\u00e9llos $\\mathbb{Z}_n$ que s\u00ed sean grupos. Esto tal vez pueda ser complicado, a falta de a\u00fan no haber estudiado rigurosamente los grupos a\u00fan, inclu\u00eddo dar m\u00e1s definiciones, teoremas y demostraciones, pero la respuesta a la pregunta es muy sencilla.<\/p>\n\n\n\n Al definir un grupo nada m\u00e1s necesitamos un conjunto y una sola operaci\u00f3n. Para decir lo que es un anillo, ya requeriremos un conjunto $A$ con DOS operaciones:<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n (Anillo).<\/strong> Un anillo es una quinteta $(A, +, \\ast, 0, 1)$ tal que: Podemos abreviar la notaci\u00f3n de anillo a $(A, +, \\ast)$. Se entiende que hay un neutro para cada una de las operaciones $+$ y $\\ast$, que son el $0$ y $1$, respectivamente. A veces esos no son los s\u00edmbolos que denotan a los neutros. Se puede usar un $e$ y un $u$, o cualquier otro s\u00edmbolo que parezca apropiado, y por lo cual no hay que casarse con una notaci\u00f3n, incluidos los s\u00edmbolos que refieren a las operaciones. Coloquialmente se dice que un anillo posee una operaci\u00f3n de suma y producto de sus elementos. As\u00ed, en la notaci\u00f3n $(A, +, \\ast)$, el s\u00edmbolo $+$ se est\u00e1 refiriendo a la “suma”, mientras que $\\ast$ es el “producto”.<\/p>\n\n\n\n Ejemplo.<\/em> $(\\mathbb{Z}_n,\\widehat+, \\ast )$ es un anillo.<\/p>\n\n\n\n Ejemplo.<\/em> El conjunto $\\mathbb{C} = \\{ a + bi : a,b\\in \\mathbb{R} \\}$ de los n\u00fameros complejos, con su suma y producto usual es un anillo.<\/p>\n\n\n\n Ejemplo.<\/em> $\\mathbb{Z}[i] \\subset \\mathbb{C}$, el conjunto de los enteros gaussianos<\/strong>, definido por $$\\mathbb{Z}[i] = \\{ a + bi \\in \\mathbb{C} : a,b \\in \\mathbb{Z} \\},$$ es un anillo con la suma y producto usuales para n\u00fameros complejos.<\/p>\n\n\n\n M\u00e1s a\u00fan diremos que $\\mathbb{Z}[i]$ es un subanillo de $\\mathbb{C}$. Pues un subanillo es un subconjunto de un anillo, que tambi\u00e9n es anillo. O equivalentemente, un criterio para verificar que algo es subanillo ser\u00e1:<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n (Subanillo).<\/strong> Sean $(A, +, \\ast)$ anillo y $S \\subseteq A$. Diremos que $S$ es subanillo de $A$ si para cualesquiera $a,b\\in S$ se cumplen las siguientes condiciones:<\/p>\n\n\n\n Y de aqu\u00ed vamos a decir que, dependiendo de qu\u00e9 propiedades adicionales a la de ser anillo existan en una estructura algabraica dada, podremos clasificarlos as\u00ed:<\/p>\n\n\n\n A un anillo $(A, +, \\ast)$ se le llama:<\/p>\n\n\n\n Notamos entonces que pudieran haber anillos conmutativos que no fueran dominios enteros o dominios enteros que no fueran anillos conmutativos. Que pudieran haber anillos con divisi\u00f3n que no fueran dominios enteros y viceversa, que todo campo es dominio entero pero no todo dominio entero es campo, etc.<\/p>\n\n\n\n Tambi\u00e9n observamos que decir que un dominio entero es un monoide con ley de la cancelaci\u00f3n, es totalmente equivalente a la definici\u00f3n de un dominio entero como un anillo conmutativo con unitario sin divisores de cero.<\/p>\n\n\n\n Un ejemplo de un dominio entero que no es anillo con divisi\u00f3n es $(\\mathbb{Z}, \\widehat+, \\ast)$, pues $\\mathbb{Z}$ con el producto no es grupo. Y mucho menos puede ser grupo abeliano con el producto, por lo que $(\\mathbb{Z}, \\widehat+, \\ast)$ no es <\/strong>campo.<\/p>\n\n\n\n Un ejemplo de un campo es $\\mathbb{Z}_n$ para $n$ un n\u00famero entero primo. y se puede demostrar el siguiente teorema:<\/p>\n\n\n\n Teorema 3.<\/strong> $\\mathbb{Z}_n$ es campo si y s\u00f3lo si $n$ es primo.<\/p>\n\n\n\n Para definir los ideales, habremos de m\u00e9ncionar qu\u00e9 es un ideal por la derecha y un ideal por la izquierda. Luego, un ideal<\/strong> ser\u00e1 un subanillo que es ideal por la derecha y por la izquierda:<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n (Ideal por la derecha).<\/strong> Dado un anillo $A$, un subanillo $I \\subseteq A$ se llama un ideal por la derecha si $(I, +)$ es subgrupo aditivo, y para toda $r\\in A$ y $x\\in I$ se cumple que $xr\\in I$.<\/p>\n\n\n\n An\u00e1logamente,<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n (Ideal por la izquierda).<\/strong> Dado un anillo $A$, un subanillo $I \\subseteq A$ se llama un ideal por la izquierda si $(I, +)$ es subgrupo aditivo, y para toda $r\\in R$ y $x\\in I$ se cumple que $rx\\in I$.<\/p>\n\n\n\n As\u00ed,<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n (Ideal).<\/strong> Dado un anillo $A$, a un subanillo $I \\subseteq A$ se llama un ideal si es ideal por la izquierda e ideal por la derecha.<\/p>\n\n\n\n Ejemplo.<\/em> $3\\mathbb{Z} = \\{\\ldots -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, \\ldots\\}$ es un ideal: Y tomando cualquier $z, z’\\in \\mathbb{Z}$ se tendr\u00e1 que $z(3z’) = (3z’)z = 3(zz’) $. Es decir, multiplicar un elemento que estaba en $\\mathbb{Z}$ por un elemento en $3\\mathbb{Z}$, est\u00e1 en $3\\mathbb{Z}$. Y esto pasa si la multiplicaci\u00f3n se hace por la izquierda o la derecha. De este modo se concluye que $3\\mathbb{Z}$ es un ideal.<\/p>\n\n\n\n Ejemplo.<\/em> $\\mathbb{Z}$ es subanillo de $\\mathbb{Q}$. Pero $\\mathbb{Z}$ no es<\/strong> ideal de $\\mathbb{Q}$:<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n (Ideal principal).<\/strong> Sean $A$ un anillo e $I \\subset A$ un ideal. A $I$ se le llama ideal principal, si existe $r \\in A$ tal que $rA = I$.<\/p>\n\n\n\n Dicho de otro modo, un ideal es principal si puede ser generado por un s\u00f3lo elemento del anillo; denot\u00e1ndose esto por $I = \\langle a \\rangle$.<\/p>\n\n\n\n Se podr\u00e1 hacer la analog\u00eda de que un ideal principal es a un anillo, lo que un subgrupo c\u00edclico es a un grupo, pues los grupos c\u00edclicos tambi\u00e9n son generados por un \u00fanico elemento y se usa la misma notaci\u00f3n $\\langle a \\rangle$ para referirlos. Adem\u00e1s, los subgrupos c\u00edclicos de $\\mathbb{Z}$ coinciden ser los ideales principales de $\\mathbb{Z}$ y viceversa.<\/p>\n\n\n\n Ahora demostraremos que todos los ideales de $\\mathbb{Z}$ son principales; es decir, todo ideal de $\\mathbb{Z}$ puede generado por un \u00fanico elemento.<\/p>\n\n\n\n Teorema 4. <\/strong>Todos los ideales de $\\mathbb{Z}$ son ideales principales.<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> En primer lugar, observamos que cualquier ideal de $\\mathbb{Z}$ tiene que ser subgrupo con la operaci\u00f3n suma. Ya sabemos por el teorema 1, que todos los subgrupos de $\\mathbb{Z}$ son de la forma $\\{n\\mathbb{Z} : n \\in \\mathbb{Z}\\}.$ Lo que faltar\u00eda demostrar es que todos estos subgrupos cumplen la propiedad multiplicativa $rI$ e $Ir$.<\/p>\n\n\n\n En segundo lugar, ya demostramos (o lo hiciste t\u00fa de tarea) que $\\mathbb{Z}$ es un anillo conmutativo; es decir, la multiplicaci\u00f3n conmuta. De esto se desprende que $rI = Ir$, para todo ideal $I \\subset \\mathbb{Z}$ y todo $r$ elemento de $\\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n Sabiendo esto, demostremos que todo ideal en $\\mathbb{Z}$ cumple la propiedad “de absorber la multiplicaci\u00f3n”, sin importar de qu\u00e9 lado se haga \u00e9sta.<\/p>\n\n\n\n Tomemos $I$ un ideal de $\\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n Si $I = 0$, entonces $0$ genera $I$; $0\\cdot 0 = {0}$. Este es el caso trivial.<\/p>\n\n\n\n Supongamos entonces que $I \\neq 0$, y sea $a$ el elemento positivo m\u00e1s peque\u00f1o en $I$.<\/p>\n\n\n\n Afirmamos que $a$ genera $I$. Para demostrarlo, primero notamos que $\\langle a \\rangle \\neq \\emptyset$: ya que $\\langle a \\rangle = \\{ ar : r \\in \\mathbb{Z} \\}$, y como $I$ es ideal, $ar \\in I$; y tomando $r = 1$, se obtiene lo que queremos, $a \\in I$.<\/p>\n\n\n\n Ahora tomemos cualquier $b \\in I$. Si $b = 0$, entonces $b = a\\cdot 0$. As\u00ed, $b \\in \\langle a \\rangle$.<\/p>\n\n\n\n Si $b \\neq 0$, podemos suponer sin p\u00e9rdida de generalidad, que $b >0$. Entonces, usando el algoritmo de la divisi\u00f3n, sabemos que $$b = aq + r .$$ M\u00e1s a\u00fan, $0 \\leq r < a$, con $q, r \\in \\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n As\u00ed, $r = b \\enspace – \\enspace aq \\in I$, ya que $a, b \\in I$. Pero, como $r < a$ y $a$ era el elemento m\u00e1s peque\u00f1o en $I$, concluimos $r=0$.<\/p>\n\n\n\n De este modo, $b = aq \\in I$. Hemos expresado cualquier $b \\in I$ como un m\u00faltiplo de $a$. Es decir, $\\langle a \\rangle = I$, o lo que es mismo, $a$ genera $I$.<\/p>\n\n\n\n $\\square$ Ya dijimos que los ideales son subgrupos aditivos, es decir, con la suma son un subgrupo de un anillo. Y en los subgrupos pod\u00edamos definir a las clases laterales de un grupo, tambi\u00e9n llamados “cosets de un grupo”. Por ello podemos decir qui\u00e9nes son los cosets de un ideal con respecto a la suma. Esto es:<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n (Clases laterales de un ideal).<\/strong> Sean $I\\subseteq R$ un ideal de un anillo $R$ y $r \\in R.$ El coset asociado a $R$ es $$r + I := \\{r + a : a \\in I \\}.$$<\/p>\n\n\n\n Ejemplo.<\/em> Para los enteros m\u00f3dulo $n$, podemos identificar a $r + I$ con $\\overline{r}$, la clase de equivalencia inducida por el residuo $r$. Por ejemplo, para $\\mathbb{Z}_5 = \\{\\overline{0}, \\overline{1}, \\overline{2}, \\overline{3}, \\overline{4}\\}$, cada $n \\in \\mathbb{Z}_5$ es un entero de la forma $5q, 5q + 1, 5q + 2, 5q + 3$ o $5q +4$, que pertenece a las clases $\\overline{0}, \\overline{1}, \\overline{2}, \\overline{3}$ o $\\overline{4}$, respectivamente.<\/p>\n\n\n\n Y podemos hacer aritm\u00e9tica con los cosets, de la manera en que establece el siguiente teorema:<\/p>\n\n\n\n Teorema 5.<\/strong> Sean $R$ un anillo, $I \\subseteq R$ un ideal, y $s,t \\in R$. Entonces, para cualquier $s_1 \\in s + I$ y $t_1 \\in t + I$, tenemos:<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> Para verificar el primer inciso, tomemos $s_1 = s + i_1$ y $t_1 = t + i_2$, con $i_1, i_2 \\in I$. De este modo, $s_1 + t_1 = (s + i_1) + (t + i_2).$ Podemos reordenar los t\u00e9minos ya que la suma es conmutativa, y de que $I$ es subanillo tenemos que $(i_1 + 1_2) \\in I$. As\u00ed, $$s_1 + t_1 = (s + t) + (i_1 + i_2) = (s + t) + I.$$<\/p>\n\n\n\n Para el segundo inciso, tomemos $s_1 = s + i_1$ y $t_1 = t + i_2$, con $i_1, i_2 \\in I$. De este modo, $s_1t_1 = (s + i_1)(t + i_2) = st + si_2 + i_1t + i_1i_2$. Como $I$ es ideal por la izquierda, $si_2 \\in I$. Como $I$ es ideal por la derecha, $i_1t \\in I$, y sumar ambos es un elemento en $I$, por ser $(I, +)$ grupo. Tambi\u00e9n $i_1i_2 \\in I$, por ser $I$ subanillo. As\u00ed, $ (si_2 + i_1t) + (i_1i_2) \\in I $. De lo que se concluye que $s_1t_1 = st + I. $<\/p>\n\n\n\n $\\square$ Corolario.<\/strong> Sea $R$ un anillo e $I \\subseteq R$ un ideal. Entonces el conjunto de cosets $\\{r + I : r \\in R\\}$ forma un anillo con las operaciones<\/p>\n\n\n\n Lo que este corolario hace es darnos una manera de construir m\u00e1s anillos a partir de alg\u00fan anillo $R$ que ya tengamos y un subconjunto $I$ de $R$ que sea un ideal. S\u00f3lo si $I$ es ideal, el cociente $R\/I$ ser\u00e1 anillo.<\/p>\n\n\n\n Ejemplo.<\/em> Sean $R = \\mathbb{Z}$, e $I = 5\\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n Como $\\mathbb{Z}$ es anillo y $5\\mathbb{Z}$ es ideal de $\\mathbb{Z}$, se satisfacen las condiciones del corolario y aseguramos que $\\mathbb{Z}\/5\\mathbb{Z}$ es un anillo. Un elemento $x \\in \\mathbb{Z}\/5\\mathbb{Z}$ es de la forma $r + 5z$, con $r\\in \\mathbb{Z}$ y $5z \\in 5\\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n M\u00e1s a\u00fan, todo elemento en $\\mathbb{Z}\/5\\mathbb{Z}$ vivir\u00e1 en una y s\u00f3lo una de las siguientes clases laterales: $$\\{5\\mathbb{Z}, 1 + 5\\mathbb{Z}, 2 + 5\\mathbb{Z}, 3 + 5\\mathbb{Z}, 4 + 5\\mathbb{Z}\\}.$$<\/p>\n\n\n\n Ya que “otros elementos” que surgen de hacer variar $n\\in \\mathbb{Z}$, como podr\u00eda ser $6 + 5\\mathbb{Z}$, ya est\u00e1n tomados en cuenta en la lista anterior, pues ser\u00edan congruentes a alguna de esas clases laterales. $6 + 5\\mathbb{Z}$ es congruente a $1 + 5\\mathbb{Z}$, dado que $6 = 5\\cdot 1 + 1$. Es decir, el resultado de dividir $6$ entre $5$ deja residuo $1$.<\/p>\n\n\n\n De acuerdo a las reglas de suma y multiplicaci\u00f3n descritas en el corolario, obtenemos c\u00f3mo operar con las clases laterales. Por ejemplo, $(2 + 5\\mathbb{Z}) + (4 + 5\\mathbb{Z}) = (2 + 4) + 5\\mathbb{Z} = 6 + 5\\mathbb{Z} = 1 + 5\\mathbb{Z}$. Mientras que la multiplicaci\u00f3n ser\u00eda $(2 + 5\\mathbb{Z})(4 + 5\\mathbb{Z}) = (2\\cdot 4) + 5\\mathbb{Z} = 8 + 5\\mathbb{Z} = 3 + 5\\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n Las dem\u00e1s operaciones se muestran en las tablas.<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n En particular la tabla de la multiplicaci\u00f3n ilustra que, bajo esta operaci\u00f3n, $\\mathbb{Z}\/5\\mathbb{Z}$ (isomorfo a $\\mathbb{Z}_5$) es un grupo abeliano. Donde el neutro multiplicativo del grupo es $1 + 5\\mathbb{Z}$, y cada clase lateral distinta de cero tiene un inverso multiplicativo. $2 + 5\\mathbb{Z}$ es inverso de $3 + 5\\mathbb{Z}$, pues multiplicarlos resulta en $1 + 5\\mathbb{Z}$. Mientras que, $1 + 5\\mathbb{Z}$ es su propio inverso, y lo mismo pasa con $4 + 5\\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n No deber\u00eda ser sorpresa que $\\Big(\\mathbb{Z}\/5\\mathbb{Z}, \\enspace \\ast \\Big)$ sea grupo abeliano. Simplemente se verifica lo que ya nos dec\u00eda un teorema: Como $5$ es primo, $\\mathbb{Z}_5$ es campo.<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n (Ideal primo).<\/strong> Sea $R$ un anillo conmutativo e $I \\subset R$ un ideal propio. Decimos que $I$ es un ideal primo si para cualesquiera $a,b \\in R$ tales que $ab \\in I$ tenemos que $a \\in I$ o $b \\in I$.<\/p>\n\n\n\n La noci\u00f3n de ideal primo se parece a la de n\u00famero primo entero: ten\u00edamos que $p \\in \\mathbb{Z}$ es un n\u00famero primo si para toda $m,n \\in \\mathbb{Z}$, si $p \\mid nm$, entonces $p\\mid n$, o $p\\mid m$.<\/p>\n\n\n\n Ejemplo.<\/em> $n\\mathbb{Z}$ es un ideal primo si y s\u00f3lo si $n$ es primo. Pues $k \\in p\\mathbb{Z}$ si y s\u00f3lo si $p \\mid k$ y $p\\mathbb{Z}$ tiene a todos los m\u00faltiplos de $p$. Si $n$ fuera compuesto, existir\u00edan $l,k$ tales que $1 < l \\leq k < n $, tales que $n = lk$, y esto implicar\u00eda que $lk \\in n\\mathbb{Z}$, pero eso implicar\u00eda que $l$ o $k$ estar\u00edan en $n\\mathbb{Z}$, lo que es imposible, pues $l,k$ son menores a $n$.<\/p>\n\n\n\n Ejemplo.<\/em> En $\\mathbb{Z}[i]$, $\\langle 2 \\rangle$ no es<\/strong> un ideal primo, pues $2 = (1-i)(1+i)$, y ni $(1-i)$ o $(1 + i)$ est\u00e1n en $\\langle 2 \\rangle$.<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n (Ideal maximal).<\/strong> Sea $R$ un anillo conmutativo e $I \\subset R$ un ideal propio. Diremos que $I$ es un ideal maximal si para todo ideal $J$ tal que $I \\subseteq J \\subseteq R$ se tiene que $J = I$ o $J = R$.<\/p>\n\n\n\n Proposici\u00f3n.<\/strong> $I \\subset R$ es un ideal maximal si y s\u00f3lo si para cualquier $a \\in R\/I$ tenemos que $$ R = I + \\langle a \\rangle = \\{i + ra : i \\in I, r\\in R\\}.$$<\/p>\n\n\n\n En particular, si $R$ es un anillo conmutativo, esto nos est\u00e1 diciendo que deben existir $i \\in I$ y $r \\in R$ tales que $ar + i = 1$.<\/p>\n\n\n\n Ejemplo.<\/em> En $\\mathbb{Z}$, los ideales primos son ideales maximales y viceversa.<\/p>\n\n\n\n Ejemplo.<\/em> En $\\mathbb{Z}[x]$, $\\langle x \\rangle$ es un ideal primo pero no es maximal:<\/p>\n\n\n\n Sea $f(x)g(x) \\in \\langle x \\rangle$. Entonces existe $h(x) \\in \\mathbb{Z}[x]$ tal que $f(x)g(x) = xh(x)$. Lo que implica que alguno de los polinomios $f$ o $g$ debe tener una constante igual a cero. Sin p\u00e9rdida de generalidad, sea $g$ el polinomio sin t\u00e9rmino constante. Entonces $g \\in \\langle x \\rangle$. Lo que significa que $\\langle x \\rangle$ es un ideal primo.<\/p>\n\n\n\n Sin embargo, observamos que $\\langle 2,x \\rangle = \\{2r + xs : r, s \\in \\mathbb{Z}[x] \\}$ es un ideal propio de $\\mathbb{Z}[x]$ que contiene propiamente a $\\langle x \\rangle$. Mejor dicho, $\\langle x \\rangle \\subset \\langle 2,x \\rangle \\subset \\mathbb{Z}[x],$ por lo que $\\langle x \\rangle$ no es maximal.<\/p>\n\n\n\n Proposici\u00f3n.<\/strong> Si $R$ es un anillo conmutativo con unitario e $I\\subset R$ es un ideal maximal, entonces $I$ es un ideal primo.<\/p>\n\n\n\n Dem.- <\/em>Sean $a,b \\in R$ tales que $ab \\in I$. Si $a \\in I$, $I$ ser\u00eda primo y no habr\u00eda nada que demostrar. Supongamos pues que $a \\notin I$. Esto implica que existen $r \\in R$, $i\\in I$ tales que $ar + i = 1$. Y multiplicando por $b$ la ecuaci\u00f3n obtenemos $abr + bi = b$. $\\square$ Tres resultados importantes que ya no demostraremos, pero que valdr\u00eda la pena mencionarlos y ya se puede entender qu\u00e9 es lo que quieren decir son los siguientes:<\/p>\n\n\n\n Teorema 6.<\/strong> Sean $R$ un anillo conmutativo con unitario, e $I$ un ideal de $R$. $R\/I$ es un dominio entero si y s\u00f3lo si $I$ es primo.<\/p>\n\n\n\n Teorema 7.<\/strong> Sean $R$ un anillo conmutativo con unitario e $I$ un ideal de $R$. $R$. $R\/I$ es un campo si y s\u00f3lo si $I$ es maximal.<\/p>\n\n\n\n Teorema 8.<\/strong> Sean $R$ un campo, e $I$ un ideal de $R$. $R\/I$ es un campo si y s\u00f3lo si $I$ es primo.<\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n La siguiente entrada de blog hablar\u00e1 sobre m\u00e1ximo com\u00fan divisor y m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo en los enteros. <\/p>\n\n\n\nResumen de estructuras algebraicas y motivaci\u00f3n para la definici\u00f3n de ideal<\/h3>\n\n\n\n
$$ x\\star (y \\star z) = (x \\star y) \\star z, \\enspace \\forall \\enspace x,y,z \\in A. $$<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\nDefinici\u00f3n de ideal y ejemplos<\/h3>\n\n\n\n
Primero vemos que $3\\mathbb{Z}$ es subgrupo de $\\mathbb{Z}$ con la operaci\u00f3n suma:<\/p>\n\n\n\nResultados para ideales y divisibilidad<\/h3>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
A este anillo se le llama el anillo factor<\/strong> $R \\pmod I$, -equivalentemente, anillo cociente-, y se denota por $R\/I$.<\/p>\n\n\n\n+<\/td> $5\\mathbb{Z}$<\/td> $1+5\\mathbb{Z}$<\/td> $2+5\\mathbb{Z}$<\/td> $3+5\\mathbb{Z}$<\/td> $4+5\\mathbb{Z}$<\/td><\/tr> $5\\mathbb{Z}$ <\/td> $5\\mathbb{Z}$<\/td> $1+5\\mathbb{Z}$<\/td> $2+5\\mathbb{Z}$<\/td> $3+5\\mathbb{Z}$<\/td> $4+5\\mathbb{Z}$<\/td><\/tr> $1 +5\\mathbb{Z}$ <\/td> $1+5\\mathbb{Z}$<\/td> $2+5\\mathbb{Z}$<\/td> $3+5\\mathbb{Z}$<\/td> $4+5\\mathbb{Z}$<\/td> $5\\mathbb{Z}$<\/td><\/tr> $2+5\\mathbb{Z}$ <\/td> $2+5\\mathbb{Z}$<\/td> $3+5\\mathbb{Z}$<\/td> $4+5\\mathbb{Z}$<\/td> $5\\mathbb{Z}$<\/td> $1+5\\mathbb{Z}$<\/td><\/tr> $3+5\\mathbb{Z}$ <\/td> $3+5\\mathbb{Z}$<\/td> $4+5\\mathbb{Z}$<\/td> $5\\mathbb{Z}$<\/td> $1+5\\mathbb{Z}$<\/td> $2+5\\mathbb{Z}$<\/td><\/tr> $4+5\\mathbb{Z}$ <\/td> $4+5\\mathbb{Z}$<\/td> $5\\mathbb{Z}$<\/td> $1+5\\mathbb{Z}$<\/td> $2+5\\mathbb{Z}$<\/td> $3+5\\mathbb{Z}$<\/td><\/tr><\/tbody><\/table> $\\ast$ <\/td> $1+5\\mathbb{Z}$<\/td> $2+5\\mathbb{Z}$<\/td> $3+5\\mathbb{Z}$<\/td> $4+5\\mathbb{Z}$<\/td><\/tr> $1+5\\mathbb{Z}$ <\/td> $1+5\\mathbb{Z}$<\/td> $2+5\\mathbb{Z}$<\/td> $3+5\\mathbb{Z}$<\/td> $4+5\\mathbb{Z}$<\/td><\/tr> $2+5\\mathbb{Z}$ <\/td> $2+5\\mathbb{Z}$<\/td> $4+5\\mathbb{Z}$<\/td> $1+5\\mathbb{Z}$<\/td> $3+5\\mathbb{Z}$<\/td><\/tr> $3+5\\mathbb{Z}$ <\/td> $3+5\\mathbb{Z}$<\/td> $1+5\\mathbb{Z}$<\/td> $4+5\\mathbb{Z}$<\/td> $2+5\\mathbb{Z}$<\/td><\/tr> $4+5\\mathbb{Z}$ <\/td> $4+5\\mathbb{Z}$<\/td> $3+5\\mathbb{Z}$<\/td> $2+5\\mathbb{Z}$<\/td> $1+5\\mathbb{Z}$<\/td><\/tr><\/tbody><\/table>
Ya que $ab \\in I$ e $I$ es ideal, entonces $(ab)r \\in I$. An\u00e1logamente, $i\\in I$ implica que $bi \\in I$. As\u00ed, la suma de ambos est\u00e1 en $I$. As\u00ed, $b \\in I$. Esto muestra que $I$ es primo.<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\nEjercicios<\/h3>\n\n\n\n
M\u00e1s adelante…<\/h3>\n\n\n\n
Entradas relacionadas<\/h3>\n\n\n\n