Las ecuaciones de la forma $a = b + x$ no siempre tienen soluci\u00f3n en $\\mathbb{N}$; t\u00f3mese cualquier $a < b$, con $a,b \\in \\mathbb{N}$. Por ejemplo, no existe ninguna $x \\in \\mathbb{N}$ tal que $3 = 5 + x$. Ello es motivaci\u00f3n suficiente para querer construir un conjunto de n\u00fameros, denotado $\\mathbb{Z}$, donde toda ecuaci\u00f3n que tenga esa forma s\u00ed sea cerrada en ese conjunto. Es decir, “para cualquier $a,b,x \\in \\mathbb{N}$ tal que $a= b+x$, se cumplir\u00e1 que $b+x \\in \\mathbb{Z}$.”<\/p>\n\n\n\n
M\u00e1s intuitivamente, $\\mathbb{N}$ est\u00e1 conformado por el cero y dem\u00e1s n\u00fameros estrictamente positivos, pero en ocasiones eso no basta para realizar algunas cuentas. Consideremos el siguiente problema:<\/p>\n\n\n\n
Una rana est\u00e1 en una posici\u00f3n inicial $0$ y salta dos unidades hacia la derecha. A continuaci\u00f3n salta 3 unidades hacia la izquierda. Luego vuelve a saltar dos unidades hacia la derecha y seguido de esto vuelve a saltar 3 unidades a la izquierda. Una \u00faltima vez, la rana salta 2 unidades a la derecha seguidas de 3 unidades a la izquierda. \u00bfEn qu\u00e9 posici\u00f3n se encuentra la rana ahora?<\/p>\n\n\n\n
Respuesta: \u00a1Est\u00e1 en la posici\u00f3n -3! El cual es un n\u00famero negativo que no vive en $\\mathbb{N}$.<\/p>\n\n\n\n
En esta entrada de blog, dado que ya conocemos $\\mathbb{N}$, lo usaremos para construir a $\\mathbb{Z}$, el conjunto de los n\u00fameros enteros, de la manera m\u00e1s formal posible. Es decir, veremos que:<\/p>\n\n\n\n
Comencemos tomando una pareja ordenada $(a,b) \\in \\mathbb{N} \\times \\mathbb{N}$, para la cual, la ecuaci\u00f3n<\/p>\n\n\n\n
\\begin{equation}
a = b + x
\\end{equation}<\/p>\n\n\n\n
tenga soluci\u00f3n en $\\mathbb{N}$. Es decir, $a\\geq b$. Observemos luego que hay varias parejas $(c,d)$ distintas de $(a,b)$, para las que una misma $x \\in \\mathbb{N}$ resuelve $a = b + x$ y $c = d + x$ respectivamente; por ejemplo, el\u00edjanse $a = 7$, $b = 3$, $c = 15$ y $d = 11$.<\/p>\n\n\n\n
Entonces, $7> 3$ y $$ 7 = 3 + 4 \\text{.}$$
Tambi\u00e9n, $15 > 11$ y $$ 15 = 11 + 4 \\text{.}$$<\/p>\n\n\n\n
Muchas m\u00e1s parejas de naturales pueden encontrarse tales que la $x$ sea el mismo n\u00famero en todas las ecuaciones representadas por su pareja ordenada asociada. Entre ellas, $(5, 1)$, $(31, 27)$, $(100, 96)$, etc.<\/p>\n\n\n\n
Buscamos que un n\u00famero entero sea la clase de equivalencia cuyos elementos sean todas las parejas $(c,d) \\in \\mathbb{N}\\times \\mathbb{N}$, para las que una misma $x\\in \\mathbb{N}$ resuelva $c = d + x$. De ellas se eligir\u00e1 un representante $(a,b)$ que dar\u00e1 nombre a cada clase, pero m\u00e1s importante es distinguir que todo elemento de cada clase refiere a un mismo n\u00famero entero.<\/p>\n\n\n\n
La siguiente proposici\u00f3n nos permite describir qui\u00e9nes son todas las parejas $(c,d) \\in \\mathbb{N} \\times \\mathbb{N}$ que pertenecen a una misma clase:<\/p>\n\n\n\n
Proposici\u00f3n.<\/strong> Sean $(a,b) \\in \\mathbb{N} \\times \\mathbb{N}$ y $(c,d) \\in \\mathbb{N} \\times \\mathbb{N}$. $a=b+x$ y $c=d+x$ tienen la misma soluci\u00f3n si y s\u00f3lo si $a+d = b+c$.<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em><\/p>\n\n\n\n $\\Longrightarrow )$ Tenemos que<\/p>\n\n\n\n \\begin{align*} a &= b+x \\\\ d+x &= c \\end{align*}<\/p>\n\n\n\n Sumando, obtenemos $$a + (d + x) = (b + x) + c \\text{.}$$<\/p>\n\n\n\n As\u00ed,<\/p>\n\n\n\n \\begin{align*} a + (d + x) &= (b + x) + c \\\\ (a + d) + x &= b + x + c \\\\ (a + d) + x &= b + c + x \\\\ a + d &= b + c\\text{,} \\end{align*}<\/p>\n\n\n\n operaciones correspondientes a la asociatividad, conmutatividad, la ley de la cancelaci\u00f3n en $\\mathbb{N}$ y existencia del neutro aditivo en $\\mathbb{N}$.<\/p>\n\n\n\n $\\Longleftarrow )$ Sea $k \\in \\mathbb{N}$ soluci\u00f3n de $a = b + x$. Es decir, $a = b + k$.<\/p>\n\n\n\n Entonces,<\/p>\n\n\n\n \\begin{align*} a + d &= (b + k) + d \\\\ &= b + (k + d) \\\\ &= b + c. \\end{align*}<\/p>\n\n\n\n As\u00ed,<\/p>\n\n\n\n \\begin{align*} 0 + (k + d) &= (b \\enspace – \\enspace b) + (k + d) \\\\ &= (b \\enspace – \\enspace b) + c \\\\ &= 0 + c \\end{align*}<\/p>\n\n\n\n Por lo tanto, $$ c = d + k \\text{.}$$ $\\square$ La proposici\u00f3n anterior nos permite definir, para $w,z \\in \\mathbb{N}^2 $ tales que $w = (a,b)$ y $ z = (c,d)$, a la relaci\u00f3n<\/p>\n\n\n\n \\begin{equation} Proposici\u00f3n.<\/strong> (2) es una relaci\u00f3n de equivalencia.<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em><\/p>\n\n\n\n $\\square$ Con s\u00f3lo estas dos proposiciones ya deber\u00eda quedar m\u00e1s claro de d\u00f3nde sale la noci\u00f3n formal de n\u00famero entero que es:<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n.<\/strong> Un n\u00famero entero es una clase de equivalencia $[(a,b)]_{\\sim}$ definida por<\/p>\n\n\n\n \\begin{equation} Obviamente, en (1), la $x$ puede tomar cualquier valor $k \\in \\{1, \\ldots , n \\}$, por lo que habr\u00e1n infinitas clases como (3), y distintas.<\/p>\n\n\n\n M\u00e1s a\u00fan, ya que la relaci\u00f3n es de equivalencia y una relaci\u00f3n de equivalencia induce una partici\u00f3n (resultado que se demostr\u00f3 en \u00c1lgebra Superior I), determinamos que existe una colecci\u00f3n que tiene todas las clases del tipo (3), y donde ellas particionan tal conjunto, al cual se le llamar\u00e1 $\\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n.<\/strong> Para $(a,b) \\in \\mathbb{N}^2$, el conjunto de los n\u00fameros enteros ser\u00e1 la colecci\u00f3n de todas las clases de equivalencia arriba mencionadas;<\/p>\n\n\n\n \\begin{equation} De ahora en adelante, abreviaremos la notaci\u00f3n de clase de equivalencia por $[(a,b)]$ (sin la tilde), para facilitar las demostraciones. Otra notaci\u00f3n usada com\u00fanmente en la literatura es $\\overline{(a,b)}$.<\/p>\n\n\n\n Ahora definimos la suma de dos enteros, como sigue:<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n.<\/strong> La suma en los enteros es la funci\u00f3n $ \\widehat+ : \\mathbb{Z} \\times \\mathbb{Z} \\longrightarrow \\mathbb{Z} $ tal que $$[(a,b)] \\enspace \\widehat+ \\enspace [(c,d)] = [(a+c, b+d)] \\text{.}$$<\/p>\n\n\n\n La suma arriba dada indica que,<\/p>\n\n\n\n para $a = b + x$ y $c = d + y$, sumar ambas ecuaciones corresponde a sumar enteros:<\/p>\n\n\n\n $$ a + c = (b + d) + (x + y) \\equiv [(a +c, b+d))]\\text{.}$$<\/p>\n\n\n\n A continuaci\u00f3n mostramos que la suma de dos enteros es la misma, sin importar qui\u00e9n sea el representante elegido para cada clase:<\/p>\n\n\n\n Proposici\u00f3n.<\/strong> La suma en los enteros est\u00e1 bien definida.<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> Sean $w, w’, z, z’ \\in \\mathbb{Z}$ tales que $w \\sim w’$ y $z \\sim z’$. En otras palabras, $ w = (a,b) $ y $ w’ = (f,g)$ pertenecen a la misma clase de equivalencia. As\u00edmismo, $z = (c,d)$ y $z’ = (h, i)$ pertenecen a una misma clase de equivalencia.<\/p>\n\n\n\n Queremos demostrar que $w + z = w’ + z’$. O lo que es mismo, queremos ver que: Ya que $w \\sim w’$, entonces $a + g = b + f$.<\/p>\n\n\n\n Ya que $z \\sim z’$, entonces $c + i = d + h$.<\/p>\n\n\n\n Sumando las ecuaciones, obtenemos que<\/p>\n\n\n\n $$(a + c) + (g + i) = (b + d) + (f + h)\\text{,}$$<\/p>\n\n\n\n lo que significa que, como se quer\u00eda, $(a + c , b+d) \\sim (f + h, g +i).$ Es decir, pertenecen a la misma clase de equivalencia. Por lo tanto, $[(a + c , b+d)]= [(f + h, g +i)]$.<\/p>\n\n\n\n $\\square$ Informalmente -desde la escuela primaria-, ya sab\u00edamos que los enteros operan bajo ciertas reglas de suma y multiplicaci\u00f3n de sus elementos, y que antes eran tomadas como axiomas; no ten\u00edamos que demostrarlas para poder usarlas. \u00c9stas son:<\/p>\n\n\n\n Se te deja como ejercicio a t\u00ed lector, demostrar la conmutatividad, asociatividad, existencia del neutro aditivo y del inverso aditivo en $\\mathbb{Z}$. Es muy f\u00e1cil hacerlo; simplemente hay que utilizar la definici\u00f3n de entero y de suma en los enteros.<\/p>\n\n\n\n Es decir, lo que en la lista ha tomado el nombre de $r, s$, o $t$, son cada uno, clases de equivalencia<\/em>. As\u00ed, se pudieran especificar $r = [(a,b)]$, $s = [(c, d)]$ y $t = [(e,f)]$ y partir de ello para traducir las propiedades respectivas de la suma a su expresi\u00f3n m\u00e1s formal. Luego demostrarlas usando las definiciones que ya dimos.<\/p>\n\n\n\n Poner un acento circunflejo sobre el signo de suma y usar el s\u00edmbolo $\\star$ en el caso del producto es simplemente una notaci\u00f3n que sirve para diferenciar la suma y producto de n\u00fameros naturales (ya elegimos que fueran $+$ y $\\cdot$ respectivamente). La notaci\u00f3n no deber\u00eda causar miedo alguno; puede pensarse como la suma y producto a la que ya estamos acostumbrados para sumar y multiplicar enteros. <\/p>\n\n\n\n Para las siguientes entradas de blog, los s\u00edmbolos de suma y multiplicaci\u00f3n se simplificar\u00e1n; esto con la finalidad de facilitar la escritura (y lectura), pero siempre hay que saber diferenciar en d\u00f3nde y respecto a qui\u00e9n se est\u00e1n efectuando las operaciones.<\/p>\n\n\n\n Podemos adelantar que los enteros dotados con la operaci\u00f3n suma, y denotados por $(\\mathbb{Z}, \\widehat+)$, es un grupo abeliano<\/strong>. Esta estructura algebraica es muy importante irla conociendo, y basta probar todas las propiedades de la suma en los enteros, para que tambi\u00e9n hayas demostrado que $(\\mathbb{Z}, \\widehat+)$ es un grupo abeliano.<\/p>\n\n\n\n A\u00f1adiendo una operaci\u00f3n m\u00e1s a $\\mathbb{Z}$ (en este caso, el producto en $\\mathbb{Z}$) y con la que se cumplan el resto de las propiedades de la lista, podemos decir que $(\\mathbb{Z}, \\widehat+, \\ast)$ es un anillo conmutativo con unitario<\/strong> (refiri\u00e9ndose al neutro multiplicativo). No dar\u00e9 la definici\u00f3n de anillo conmutativo con unitario en esta entrada; m\u00e1s bien pretendo hacer ver que $(\\mathbb{Z}, \\widehat+, \\ast)$, con su suma y producto, forman un caso particular de esa definici\u00f3n. En alguna pr\u00f3xima publicaci\u00f3n, se ver\u00e1 el producto en $\\mathbb{Z}$ y una vez que se sepa c\u00f3mo est\u00e1 definido \u00e9ste, se podr\u00e1n demostrar el resto de las propiedades de la lista. Una vez que demuestres todas las propiedades, tambi\u00e9n habr\u00e1s mostrado que $(\\mathbb{Z}, \\widehat+, \\ast)$ es un anillo conmutativo con unitario. E invito al lector entusiasta a investigar por su cuenta las definiciones formales de grupo abeliano, y anillo conmutativo con unitario.<\/p>\n\n\n\n Finalicemos este texto proporcionando dos \u00faltimas definiciones:<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n.<\/strong> Sea $A$ un anillo, y sean $m,n \\neq 0_{A}$, que adem\u00e1s satisfacen que $$m\\cdot n = 0_{A}\\text{.}$$ Definici\u00f3n.<\/strong> Un dominio entero<\/strong> es un anillo conmutativo con unitario sin divisores de cero.<\/p>\n\n\n\n \u00bfEl conjunto de los enteros tiene divisores de cero? No. Esto quiere decir que $\\mathbb{Z}$ es un dominio entero.<\/p>\n\n\n\n \u00bfPuedes dar un ejemplo de un anillo $(A, + , \\star)$, conmutativo y con unitario, que s\u00ed tenga divisores de cero?<\/p>\n\n\n\n Entrada siguiente del curso: <<Producto y orden en $\\mathbb{Z}$>><\/a><\/p>\n\n\n\n <\/p>\n\n\n\n
Se ha demostrado que $k$ tambi\u00e9n es soluci\u00f3n de $c= d + x$.<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
w \\sim z \\enspace \\text{si y s\u00f3lo si} \\enspace a + d = b + c\\text{,}
\\end{equation}
que ahora demostraremos, es de equivalencia.<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
[(a,b)]_{\\sim} := \\left\\{(c,d)\\in \\mathbb{N}^2 : a+d = b+c \\right\\}\\text{.}
\\end{equation}<\/p>\n\n\n\nEl conjunto de los n\u00fameros enteros y su suma<\/h3>\n\n\n\n
\\mathbb{Z} \/ \\sim := \\left\\{ [(a,b)]_{\\sim} : (a,b)\\in \\mathbb{N}\\times \\mathbb{N} \\right\\} \\text{.}
\\end{equation}<\/p>\n\n\n\n
$$[(a,b)] \\enspace \\widehat{+} \\enspace [(c,d)] = [(a + c , b+d)]= [(f + h, g +i)]= [(f,g)] \\enspace \\widehat{+} \\enspace [(h, i)] $$<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n$\\mathbb{Z}$ es un dominio entero<\/h3>\n\n\n\n
Entonces a $m$ y $n$ se les llama divisores de cero<\/em>; donde $m$ es el divisor izquierdo de cero<\/em> y $n$ es el divisor derecho de cero<\/em>. $0_{A}$ se refiere al elemento $0$ del anillo.<\/p>\n\n\n\nEjercicios<\/h3>\n\n\n\n
Entradas relacionadas<\/h3>\n\n\n\n