En esta entrada primero veremos qu\u00e9 significa que un entero $a$ divida a otro entero $b.$<\/p>\n\n\n\n
Luego nos servir\u00e1 recordar lo que es un ideal en $\\mathbb{Z}$ para definir al “generado de $m$ y $n$,” como sigue: $$\\langle {m,n} \\rangle = \\{nz_1 + mz_2 : z_1, z_2 \\in \\mathbb{Z} \\}.$$<\/p>\n\n\n\n
A partir de lo cual definiremos al m\u00e1ximo com\u00fan divisor de dos enteros $m$ y $n$ como aqu\u00e9l $d \\geq 0$, $d\\in \\mathbb{Z}$, tal que $$d\\mathbb{Z} = m\\mathbb{Z} + n\\mathbb{Z},$$ y que observaremos, $d\\mathbb{Z}$ y $\\langle {m,n} \\rangle$ son el mismo conjunto.<\/p>\n\n\n\n
En particular si $d = 1$, tendremos $\\mathbb{Z} = m\\mathbb{Z} + n\\mathbb{Z}$. Cuando esto ocurre decimos que $m$ y $n$ son primos relativos.<\/p>\n\n\n\n
Finalmente demostraremos algunos teoremas que hagan uso de estos cuatro nuevos conceptos.<\/p>\n\n\n\n
Definici\u00f3n ($a$ divide a $b$).<\/strong> Definimos la relaci\u00f3n “divide a” en $\\mathbb{Z}$ as\u00ed: $$a \\mid b \\text{ si y s\u00f3lo si } \\exists x\\in \\mathbb{Z} \\text{ tal que } ax = b.$$<\/p>\n\n\n\n Que es a equivalente decir: “$a$ divide a $b$ si y s\u00f3lo si $b\\in a\\mathbb{Z}$,” o que “$b$ es m\u00faltiplo de $a.$”<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n (Resta en $\\mathbb{Z}$).<\/strong> En el conjunto de los enteros, restar dos n\u00fameros $w$ y $z$ se define de la siguiente manera: La resta en $\\mathbb{Z}$ no es conmutativa, pues eligiendo $z$ un entero y $-z$ su inverso, obtenemos que $$z \\enspace – \\enspace (-z) = z +[- (-z) ] = z + z = 2z \\neq -z \\enspace – \\enspace z = -z + (-z) = – 2z.$$<\/p>\n\n\n\n Tampoco es asociativa, pues eligiendo $x = -z$, $y = z$, $w = -z$ n\u00fameros enteros, se tendr\u00e1 que $$x-(y-w) = -3z \\neq -z = (x-y)-w.$$<\/p>\n\n\n\n Un conjunto $S$ es cerrado bajo la resta si al tomar dos elementos en $S$ y restarlos, el resultado tambi\u00e9n est\u00e1 en $S$. En particular para $S = \\mathbb{Z}$ suceder\u00e1 que la \u00fanica condici\u00f3n necesaria para que ciertos subconjuntos de $\\mathbb{Z}$ sean ideales ser\u00e1 pedirles que sean cerrados bajo la resta.<\/p>\n\n\n\n Demostremos entonces que:<\/p>\n\n\n\n Proposici\u00f3n 1.<\/strong> Si un subconjunto de $\\mathbb{Z}$ cerrado bajo la resta tiene alg\u00fan elemento distinto de $0$, entonces tambi\u00e9n tiene un elemento positivo.<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> Sea $S\\subseteq \\mathbb{Z}$ un subconjunto distinto del vac\u00edo y cerrado bajo la resta. Tomemos $z \\in S$. Ya que $S$ es un entero cerrado bajo la resta, $z \\enspace – \\enspace z = z + (-z) = 0$. Por lo que $0 \\in S$. Y como $0$ y $z$ est\u00e1n en $S$ que es cerrado bajo la resta, $0 \\enspace -\\enspace z = 0 + (-z) = -z.$ Es decir, el inverso de $z$ tambi\u00e9n est\u00e1 en $S$ y necesariamente alguno de ellos, $z$ o $-z$ ser\u00e1 positivo.<\/p>\n\n\n\n $\\square$ Proposici\u00f3n 2.<\/strong> Si un subconjunto $S$ de $\\mathbb{Z}$ es cerrado bajo la resta, entonces $S$ es cerrado bajo la suma.<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> Si $S = \\emptyset$, decir que $S \\subseteq \\mathbb{Z}$ es cerrado bajo la resta es una proposici\u00f3n falsa, pues no existen elementos en $S$, y de una hip\u00f3tesis falsa podemos concluir lo que queramos; en particular, que $S$ es cerrado bajo la suma.<\/p>\n\n\n\n Si, $S \\neq \\emptyset$, de la proposici\u00f3n anterior sabemos que $S$ tiene al menos dos elementos $z_1$ y $z_2$. Y s\u00f3lo es cuesti\u00f3n de expresar la suma de ellos como una resta: $\\square$ Proposici\u00f3n 3.<\/strong> Si un subconjunto $S$ de $\\mathbb{Z}$ es cerrado bajo la resta, entonces cuando $x\\in S$, todo m\u00faltiplo de $x$ tambi\u00e9n est\u00e1 en $S$. Es decir, que $$x \\in S \\enspace \\Longrightarrow \\enspace \\mathbb{Z}x \\subseteq S.$$<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> Sea $S$ un subconjunto de $\\mathbb{Z}$ distinto del vac\u00edo y cerrado bajo la resta. Primero veremos que los m\u00faltiplos positivos de $x$ pertenecen a $S$ y lo haremos por inducci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n Sea $x \\in S$. Por la proposici\u00f3n anterior, $0 \\in S$ y esto es la base de inducci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n Supongamos que el enunciado se cumple para $nx$, es decir, asumamos $nx\\in S$. Tenemos entonces que $(n +1)x = nx + x$ est\u00e1 en $S$, pues $x \\in S$ y un subconjunto cerrado bajo la resta es cerrado bajo la suma. Concluimos que todo $nx \\in S$ si $n \\geq 0.$<\/p>\n\n\n\n Pero para cada $nx \\in S$, su inverso aditivo tambi\u00e9n est\u00e1 en $S$. Lo que termina de demostrar el resultado.<\/p>\n\n\n\n $\\square$ Definici\u00f3n (Ideal en $\\mathbb{Z}$). <\/strong>Un subconjunto $I$ de $\\mathbb{Z}$ no vac\u00edo y cerrado bajo la resta se llama un ideal de $\\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n La definici\u00f3n de ideal en $\\mathbb{Z}$ que acabamos de dar es exclusiva para el conjunto de los enteros, pues de la entrada de blog anterior sabemos que en general, para que un conjunto $I$ sea ideal se requiere que $I$ sea subanillo de un anillo $A$, tambi\u00e9n que $I$ sea subgrupo de $A$ con la operaci\u00f3n suma y que se absorba la multiplicaci\u00f3n; es decir, para cualquier $a \\in A$ e $i \\in I$ se tendr\u00e1 que $aI \\in I$.<\/p>\n\n\n\n Esta definici\u00f3n simplificada de ideal en los enteros es interesante porque nos hace dar cuenta de que s\u00f3lo hay que pedir que $I$ subconjunto de $\\mathbb{Z}$ sea cerrado bajo la resta y de ello se implican los requerimientos para la definici\u00f3n de ideal en general. Muestra t\u00fa mismx este hecho.<\/p>\n\n\n\n Tambi\u00e9n intenta demostrar lo siguiente:<\/p>\n\n\n\n Proposici\u00f3n 4.<\/strong> Si un subconjunto $S \\neq \\emptyset$ de $\\mathbb{Z}$ es cerrado bajo la resta, entonces existe $n \\in \\mathbb{N}$ tal que $S = n\\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n La proposici\u00f3n anterior equivale a decir que todos los ideales de $\\mathbb{Z}$ son de la forma $n\\mathbb{Z}$, cosa que ya hab\u00edamos mostrado anteriormente; claro que en aqu\u00e9l caso expl\u00edcitamente usamos la definici\u00f3n de ideal y el hecho de que todos los subgrupos de $\\mathbb{Z}$ son de la forma $n\\mathbb{Z}$. Aqu\u00ed no ser\u00eda necesaria la teor\u00eda algebraica adicional.<\/p>\n\n\n\n Subconjuntos de $\\mathbb{Z}$ que no son de la forma $n\\mathbb{Z}$ no<\/strong> ser\u00edan ideales. Es lo que nos dice tambi\u00e9n la proposici\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n Ejemplo.<\/em> ${1}$ es subconjunto de $\\mathbb{Z}$ pero su inverso aditivo no est\u00e1 en el conjunto.<\/p>\n\n\n\n Ejemplo.<\/em> $\\mathbb{N}$ es subconjunto de $\\mathbb{Z}$ pero no es cerrado bajo la resta.<\/p>\n\n\n\n Teorema 1.<\/strong> Si $\\{S_i\\}_{i\\in \\mathbb{N}}$ es una familia de subconjuntos no vac\u00edos de $\\mathbb{Z}$ cerrados bajo la resta, entonces $\\bigcap \\{S_i\\}_{i\\in \\mathbb{N}}$ tambi\u00e9n es un subconjunto no vac\u00edo cerrado bajo la resta.<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> Tenemos que $0 \\in S_i$ para toda $i \\in \\mathbb{N}$, por la proposici\u00f3n 1. As\u00ed, $0 \\in \\bigcap S_i$.<\/p>\n\n\n\n An\u00e1logamente, si $m,n \\in \\bigcap S_i$, entonces, como cada $S_i$ es cerrado bajo la resta, $m-n \\in S_i$ $\\forall i \\in \\mathbb{N}$. Como $m-n$ est\u00e1 en todos los $S_i$, entonces $m-n \\in \\bigcap S_i$.<\/p>\n\n\n\n Del teorema 1 se concluye que para cada subconjunto $S$ de $\\mathbb{Z}$ cerrado bajo la resta, existe un conjunto que lo contiene, con la propiedad de ser m\u00ednimo. Podr\u00eda ser \u00e9l mismo o no. Este hecho se denota $$ \\langle S \\rangle = \\bigcap\\{Y : S\\subseteq Y, \\enspace Y\\neq \\emptyset, \\enspace \\text{y $Y$ es cerrado bajo la resta} \\}. $$<\/p>\n\n\n\n Asimismo, no todo subconjunto de $\\mathbb{Z}$ es cerrado bajo la resta, pero est\u00e1 contenido en uno que s\u00ed lo es. Por ejemplo, ${1} \\subset \\langle 1 \\rangle = 1 \\cdot \\mathbb{Z}$. Y $\\mathbb{N} \\subset \\langle \\mathbb{N} \\rangle = \\mathbb{Z}$. Tambi\u00e9n,<\/p>\n\n\n\n Del \u00faltimo ejemplo vemos que, aunque $\\mathbb{Z}$ es un conjunto cerrado bajo la resta que contiene a $\\langle {21, 14} \\rangle $, no es el m\u00ednimo que lo contiene.<\/p>\n\n\n\n Adem\u00e1s, se puede demostrar m\u00e1s rigurosamente que $\\langle {21, 14} \\rangle = 7\\mathbb{Z}$ por doble contenci\u00f3n de conjuntos:<\/p>\n\n\n\n Por un lado, $21 = 7\\cdot 3$ y $14 = 7\\cdot 2$, por lo que $21\\in 7\\mathbb{Z}$ y $14 \\in 7\\mathbb{Z}$. Ya que $7\\mathbb{Z}$ es cerrado bajo la resta, entonces $\\langle {21, 14} \\rangle \\subseteq 7\\mathbb{Z}$, usando el teorema 1. Por otro lado, $7 \\in 7\\mathbb{Z}$ y $7 = 21 \\enspace – \\enspace 14$. As\u00ed, $7z = 21z \\enspace – \\enspace 14z$. Como a todo $7z \\in 7\\mathbb{Z}$ lo podemos escribir como una combinaci\u00f3n lineal de $21$ y $14$, se concluye que $7z \\in \\langle {21, 14} \\rangle $. Lo que significa que $7\\mathbb{Z} \\subseteq \\langle {21, 14} \\rangle$.<\/p>\n\n\n\n En general, demostraremos por doble contenci\u00f3n de conjuntos, que $$\\langle {m,n} \\rangle = \\{mz_1 + nz_2 : z_1, z_2 \\in \\mathbb{Z} \\}.$$<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> Sea $S = \\{m,n\\}.$ As\u00edmismo, todo $m\\cdot z_1 + n \\cdot z_2 \\in $ $\\{mz_1 + nz_2 : z_1, z_2 \\in \\mathbb{Z} \\}$ est\u00e1 en $\\langle S \\rangle $, ya que como este es un conjunto cerrado bajo la resta en los enteros, la proposici\u00f3n 3 nos dice que todo $m\\mathbb{Z}$ y todo $n\\mathbb{Z}$ est\u00e1n en $\\langle S \\rangle $, y por la proposici\u00f3n 2, la suma $m\\mathbb{Z} + n\\mathbb{Z}$ tambi\u00e9n lo estar\u00e1. En particular, $m\\cdot z_1 + n \\cdot z_2 \\in \\langle S \\rangle $. Esto demostrar\u00eda la contenci\u00f3n inversa.<\/p>\n\n\n\n $\\square$ Por la proposici\u00f3n 4, afirmamos que existe $d\\geq 0$ tal que $$\\langle {m,n} \\rangle = d\\mathbb{Z}.$$ As\u00ed es como podremos definir al m\u00e1ximo com\u00fan divisor.<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n (M\u00e1ximo com\u00fan divisor).<\/strong> El entero $d\\geq 0$ tal que $$d\\mathbb{Z} = m\\mathbb{Z} + n\\mathbb{Z}$$ se llama el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de $n$ y $m$. Lo denotaremos por $(m,n).$<\/p>\n\n\n\n Coloquialmente, decimos que el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de dos enteros es el mayor n\u00famero que divide a ambos. Por ejemplo, el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de $30$ y $50$ es $10.$ Pues $30 = 2\\cdot 3 \\cdot 5$ y $50 = 2 \\cdot 5^2.$ Es decir, para calcular el el MCD de $30$ y $50$ se descomponen ambos n\u00fameros en su factorizaci\u00f3n en primos (podemos usar el algoritmo que aprendimos en la primaria). Todos los divisores de $30$ y $50$ son esos n\u00fameros primos que los factorizan, al igual que los productos de ellos y de sus potencias. <\/p>\n\n\n\n El libro de \u00c1lgebra Superior de Rinc\u00f3n, Bravo, Rinc\u00f3n en el que estamos bas\u00e1ndonos, pide demostrar que $(0,0) = 0:$ <\/p>\n\n\n\n Notamos que el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de $m = 0$ y $n= 0$ es $(0,0) = 0\\cdot \\mathbb{Z} + 0 \\cdot \\mathbb{Z} = 0 = d\\mathbb{Z}.$ Como $\\mathbb{Z}$ no siempre es cero, $d$ debe de serlo. Pero \u00a1cuidado! pues hay otros cursos y libros que especifican al m\u00e1ximo com\u00fan divisor de cero como indefinido. <\/p>\n\n\n\n Teorema 2.<\/strong> Si $n\\neq 0$ o $m \\neq 0$, y $\\langle {m,n} \\rangle = d\\mathbb{Z},$ $d\\geq 0$, entonces $d$ tiene las siguientes propiedades:<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> Si $m\\neq 0$ o $n\\neq 0$, necesariamente $d\\neq 0$. Pero ya que $d\\neq 0$ y $d\\geq 0$, entonces $d > 0$.<\/p>\n\n\n\n $\\langle {m,n} \\rangle$ contiene a $m$ por definici\u00f3n de “generado de $m$ y $n$”. As\u00ed, existe $z\\in \\mathbb{Z}$ tal que $dz = m$, usando que $\\langle {m,n} \\rangle = d\\mathbb{Z}$. Se implica que $d\\mid m$. Y por un razonamiento an\u00e1ligo, $d\\mid n.$<\/p>\n\n\n\n Si $k\\mid n$ y $k\\mid m$, entonces $n\\in k\\mathbb{Z}$ y $m\\in k\\mathbb{Z}$. De este modo, $k\\mathbb{Z}$ es un ideal que contiene a $m$ y $n$. Por lo que tambi\u00e9n contiene a $\\langle {m,n} \\rangle = d\\mathbb{Z}$. As\u00ed, existe un $z \\in \\mathbb{Z}$ tal que $k\\cdot z = d\\cdot 1 = d.$ De donde $k\\mid d.$<\/p>\n\n\n\n $\\square$ A continuaci\u00f3n definimos a los n\u00fameros que son primos relativos y demostramos un teorema para ellos.<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n (Primos relativos).<\/strong> Decimos que dos enteros $m, n$ son primos relativos si $(n,m) = 1$.<\/p>\n\n\n\n Teorema 3.<\/strong> Dos enteros $m, n$ son primos relativos si y s\u00f3lo si existen $x$ y $y$ enteros tales que $xm + yn = 1.$<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> La ida del teorema es una consecuencia inmediata de la definici\u00f3n de m\u00e1ximo com\u00fan divisor, pues $1\\mathbb{Z} = m\\mathbb{Z} + n\\mathbb{Z}$ implica que, eligiendo $1 \\in \\mathbb{Z}$ del lado izquierdo, necesariamente habr\u00e1 alguna pareja de enteros $x,y \\enspace$ tales que $1\\cdot 1 = 1 = mx + ny.$<\/p>\n\n\n\n Tomemos ahora $mx + ny = 1.$ Para $z$ arbitraria se cumplir\u00e1 que $zmx + zny = z.$ Es decir, $m(zx) + n(zy) = 1z.$ Como sucede para toda $z$, $m\\mathbb{Z} + n\\mathbb{Z} = 1\\cdot \\mathbb{Z}.$ Por lo que $m$ y $n$ son primos relativos.<\/p>\n\n\n\n $\\square$ El teorema anterior es relevante pues al hacer demostraciones ser\u00e1 m\u00e1s usual describir a dos numeros que son primos relativos mediante una combinaci\u00f3n lineal del tipo $xn + yn = 1,$ en vez de usar la definici\u00f3n de m\u00e1ximo com\u00fan divisor.<\/p>\n\n\n\n Ahora veamos otro teorema \u00fatil.<\/p>\n\n\n\n Teorema 4.<\/strong> Sean $a,b,c\\in \\mathbb{Z}$. Si $a\\mid bc$ y $(a,b) = 1$ entonces $a\\mid c.$<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> Como $a$ divide a $bc$, existe $x \\in \\mathbb{Z}$ tal que $ax = bc$. Multiplicamos esta ecuaci\u00f3n por $m$ adecuada: Sustituyendo en $ amx = bmc $, tenemos que $amx = (1 \\enspace – \\enspace an)c$. De donde $$amx(1 + an) = (1 + an)(1\\enspace – \\enspace an)c = c \\enspace – \\enspace c(an)^2,$$ lo que implica<\/p>\n\n\n\n $$ a\\Big[mx(1 + an) + (ca)n^2\\Big] = c .$$<\/p>\n\n\n\n Teorema 5. <\/strong>Sean $a,b,c \\in \\mathbb{Z}.$ Si $a\\mid c$, $b\\mid c$ y $(a,b) =1,$ entonces $ab \\mid c$.<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> Ya que $(a,b)$ son primos relativos, existen $m,n \\in \\mathbb{Z}$ tales que $am + bn = 1 $ y multiplicamos esta ecuaci\u00f3n por $c$: $$cam + cbn = c.$$<\/p>\n\n\n\n Luego, existen $q,r \\in \\mathbb{Z}$ tales que $aq = c$ y $br = c$, pues $a$ divide a $c$ y $b$ divide a $c$. Y sustituyendo en $cam + cbn = c$ tenemos: $$ bram + aqbn = ab(rm + qn) = c , $$ de donde $ab \\mid c.$<\/p>\n\n\n\n $\\square$ La pr\u00f3xima entrada de blog veremos un par de resultados adicionales sobre m\u00e1ximo com\u00fan divisor y desarrollaremos el tema de m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo. <\/p>\n\n\n\n
$$w \\enspace – \\enspace z = w + (-z).$$<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
$$z_1 + z_2′ = z_1 + (-z_2),$$ lo cual es posible porque, tambi\u00e9n de la proposici\u00f3n anterior se tiene que $-z_2 \\in S.$<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
Para ver que $\\langle {m,n} \\rangle \\subseteq \\{mz_1 + nz_2 : z_1, z_2 \\in \\mathbb{Z} \\},$ notemos que el lado derecho es un conjunto cerrado bajo la resta, pues podemos reescribir $mz_1 + nz_2$ como $mz_1 \\enspace – \\enspace n(-z_2)$. Adem\u00e1s, $ \\{mz_1 + nz_2 : z_1, z_2 \\in \\mathbb{Z} \\}$ contiene a $m$ y $n$, pues $m = m\\cdot 1 + n\\cdot 0$ y $n = m\\cdot 0 + n\\cdot 1.$ Y con esto tambi\u00e9n garantizamos que el conjunto es distinto del vac\u00edo. De la definici\u00f3n de $\\langle S \\rangle $, todos las colecciones que tengan estas caracter\u00edsticas contienen a $\\langle S \\rangle $.<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\nDefinici\u00f3n de m\u00e1ximo com\u00fan divisor y teoremas<\/h3>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\n
$$ amx = bmc.$$
Luego, existen $m,n$ enteros tales que $bm + an = 1$, pues $a,b$ son primos relativos. As\u00ed, $bm = 1 \\enspace – \\enspace an.$<\/p>\n\n\n\n
$\\square$
<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\nEjercicios<\/strong><\/h3>\n\n\n\n
M\u00e1s adelante…<\/h3>\n\n\n\n
Entradas relacionadas<\/h3>\n\n\n\n