Definiremos al m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo<\/strong> de dos enteros $a, b$ como el menor de los m\u00faltiplos comunes de $a$ y $b$.<\/p>\n\n\n\n Ejemplificando, sean $a = 6$, $b = 8$. Obviamente, $6\\cdot 8 = 48$ es un m\u00faltiplo com\u00fan para $6$ y $8$, pero no es el m\u00ednimo. Mientras que $24$ s\u00ed lo es. El algoritmo para encontrar este n\u00famero ya lo conocemos. En este caso:<\/p>\n\n\n\n Pensando en escribir esto con m\u00e1s formalidad, $6\\mathbb{Z}$ tendr\u00eda a todos los m\u00faltiplos de $6:$ $$ \\{ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, \\ldots \\}. $$ A su vez, $8\\mathbb{Z}$ ser\u00edan los m\u00faltiplos de $8$, $$ \\{ 8, 16, 24, 32, 40, 48, \\ldots \\}.$$<\/p>\n\n\n\n De modo que al tomar la interseci\u00f3n $6\\mathbb{Z}\\cap 8\\mathbb{Z}$, obtendr\u00edamos todos los m\u00faltiplos comunes de $8$ y $6$, de los cuales, el menor de ellos es el que nos interesar\u00eda; y que siempre existe; nos lo asegura el principio del buen orden. M\u00e1s a\u00fan observamos que todos los m\u00faltiplos comunes de $6$ y $8$ son m\u00faltiplos de $24$ (que era el m\u00ednimo de ellos). De tal suerte que $ 6\\mathbb{Z}\\cap 8\\mathbb{Z} = 24\\mathbb{Z}.$<\/p>\n\n\n\n En general suceder\u00e1 que, para $a$ y $b$ enteros, todos los m\u00faltiplos comunes de $a$ y $b$ ser\u00e1n m\u00faltiplos del m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo, llam\u00e9mosle $m$; y denot\u00e9mosle por $[a,b]$. Con ello tendremos la siguiente proposici\u00f3n, cuya demostraci\u00f3n es inmediata y se deja como ejercicio.<\/p>\n\n\n\n Proposici\u00f3n 1.<\/strong> Si $a\\neq 0$ o $b\\neq 0$, $a\\mathbb{Z}\\cap b\\mathbb{Z} = m\\mathbb{Z}$, y $m\\geq 0$, entonces<\/p>\n\n\n\n Para demostrar otra propiedad del MCM, primero hay que ver que:<\/p>\n\n\n\n Proposici\u00f3n 2.<\/strong> Sean $a,b,c \\in \\mathbb{Z^+}\\cup\\{0\\}.$ Se cumple la igualdad $$a\\mathbb{Z}(b\\mathbb{Z}\\cap c\\mathbb{Z}) = ab\\mathbb{Z}\\cap ac\\mathbb{Z}.$$<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> Primero notamos que $ab\\mathbb{Z} = a\\mathbb{Z}b\\mathbb{Z},$ ya que cualquier $q\\in ab\\mathbb{Z} $ es de la forma $q= (ab)(z) = (az)(b\\cdot 1)$. De este modo, $q \\in a\\mathbb{Z}b\\mathbb{Z}.$ Lo que demuestra $ab\\mathbb{Z} \\subseteq a\\mathbb{Z}b\\mathbb{Z}.$ Y tomando $q \\in a\\mathbb{Z}b\\mathbb{Z}$, tendr\u00edamos $q = az_1bz_2$, para algunos $z_1, z_2 \\in \\mathbb{Z}.$ Luego, $az_1bz_2 = (ab)(z_1z_2) = abz.$ De donde $q\\in ab\\mathbb{Z}$, y se deslinda $a\\mathbb{Z}b\\mathbb{Z} \\subseteq ab\\mathbb{Z}.$<\/p>\n\n\n\n De este modo, lo que nos piden demostrar es en realidad $$ a\\mathbb{Z}(b\\mathbb{Z}\\cap c\\mathbb{Z}) = a\\mathbb{Z}b\\mathbb{Z} \\cap a\\mathbb{Z}c\\mathbb{Z}.$$<\/p>\n\n\n\n Sea $x \\in a\\mathbb{Z}(b\\mathbb{Z}\\cap c\\mathbb{Z}).$ Entonces $x$ se puede escribir de dos maneras: $x = az_1bz_2$ o $x = az_1cz_3$. Claramente $az_1bz_2 \\in a\\mathbb{Z}b\\mathbb{Z}$ y $az_1cz_2 \\in a\\mathbb{Z}c\\mathbb{Z}.$ As\u00ed, $x \\in a\\mathbb{Z}b\\mathbb{Z} \\cap a\\mathbb{Z}c\\mathbb{Z}.$ M\u00e1s a\u00fan, $x \\in ab\\mathbb{Z}\\cap ac\\mathbb{Z}.$<\/p>\n\n\n\n Ahora tomemos $x \\in a\\mathbb{Z}b\\mathbb{Z} \\cap a\\mathbb{Z}c\\mathbb{Z}.$ De que $x \\in a\\mathbb{Z}b\\mathbb{Z}$, sabemos que $x = az_1bz_2,$ con $z_1, z_2 \\in \\mathbb{Z}.$ De que $x \\in a\\mathbb{Z}c\\mathbb{Z}$, se tiene que $x = az_1cz_3,$ $z_3 \\in \\mathbb{Z}.$ Por lo tanto, $x \\in b\\mathbb{Z}\\cap c\\mathbb{Z}$. Como $b\\mathbb{Z}\\cap c\\mathbb{Z}$ es un ideal, existe $m \\in \\mathbb{Z}$ tal que $b\\mathbb{Z}\\cap c\\mathbb{Z} = m\\mathbb{Z},$ con $x = az_1mz_4 = a(z_1mz_4) = az.$ Por lo que $x \\in a\\mathbb{Z}(b\\mathbb{Z}\\cap c\\mathbb{Z}).$<\/p>\n\n\n\n $\\square$<\/p>\n\n\n\n Y ahora mostraremos que el MCM saca constantes.<\/p>\n\n\n\n Teorema 1.<\/strong> Si $k> 0$ y $k,b,c\\in \\mathbb{Z}$, se cumple: $ [kb, kc] = k[b,c]. $<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> Por definci\u00f3n de m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo tenemos que $[kb, kc]\\mathbb{Z} = kb\\mathbb{Z}\\cap kc\\mathbb{Z}.$ Usando el lema, $kb\\mathbb{Z}\\cap kc\\mathbb{Z} = k\\mathbb{Z}(b\\mathbb{Z}\\cap c\\mathbb{Z}).$ Pero $b\\mathbb{Z}\\cap c\\mathbb{Z} = [b,c],$ por definici\u00f3n de m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo. As\u00ed, $k\\mathbb{Z}(b\\mathbb{Z}\\cap c\\mathbb{Z}) = k\\mathbb{Z}([b,c])$ Finalmente, de la conmutatividad de la multiplicaci\u00f3n en los enteros se tiene $k\\mathbb{Z}([b,c]) = k\\Big([b,c]\\mathbb{Z}\\Big).$<\/p>\n\n\n\n $\\square$<\/p>\n\n\n\n Lema 1.<\/strong> Para $a,b\\in \\mathbb{Z}$ se cumple: $[a,b] = [-a,b] = [a,-b] = [-a, -b].$<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> Si $a,b$ son distintos de cero, el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo $[a,b]$ es un entero positivo $m$, tal que $[a,b] = m.$ De la proposici\u00f3n 1, sabemos que $a \\mid m$ y $b\\mid m.$<\/p>\n\n\n\n Esto es, existe $x \\in \\mathbb{Z}$ tal que $ax = m$. Que implica $(-a)(-x) = m$. Por lo que $-a \\mid m$. As\u00ed, $[-a, b] = m.$ Y por un argumento an\u00e1logo, $[a, -b] = m.$ Por \u00faltimo, ya que $a \\mid m$ y $b\\mid m,$ tenemos que $ax = by = m$. Lo que implica $(-a)(-x) = (-b)(-y) = m = [-a, -b].$<\/p>\n\n\n\n $\\square$<\/p>\n\n\n\n Notemos que si $b\\neq 0$, y $a \\mid b, $ existe una \u00fanica<\/strong> $c\\in \\mathbb{Z}$ tal que $ac = b$. Esto es una consecuencia de la ley de cancelaci\u00f3n. Primero, $b\\neq 0$ implica $a \\neq 0$. Si existiera $d\\in \\mathbb{Z}$ tal que $ad = b$, suceder\u00eda $ad = ac$, lo que implica $d = c.$<\/p>\n\n\n\n S\u00f3lo si $a$ divide a $b$ y $b$ es distinto de cero, denotaremos por $c = \\frac{b}{a}$ al \u00fanico entero $x$ con la propiedad de que $ax = b.$<\/p>\n\n\n\n Ya mencionamos que para $a,b \\in \\mathbb{Z}$, multiplicar $ab$ es obviamente m\u00faltiplo de $a$ y $b$, pero no es siempre el m\u00ednimo. Lo que s\u00ed siempre suceder\u00e1 es que $ab$ se puede obtener multiplicando el MCM por el MCD, como lo establece el siguiente teorema:<\/p>\n\n\n\n Teorema 2.<\/strong> Si $a, b \\in \\mathbb{Z},$ $ab = (a,b)[a,b].$<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> El caso de $a=0$, $b = 0$ se cumple evidentemente. Supongamos entonces $a\\neq 0$ y $b\\neq 0$. Por la observaci\u00f3n previa al teorema, podemos tomar \u00fanicamente el caso $a > 0$ y $b > 0$; ya sabiendo qu\u00e9 pasa aqu\u00ed, se deducir\u00e1 lo que ocurre con los dem\u00e1s casos.<\/p>\n\n\n\n Luego, por la proposici\u00f3n 1, tomando $m = [a,b]$ tenemos que $a\\mid m$ y $b\\mid m$. Ya que $a$ divide a $m$, existe $x\\in \\mathbb{Z}$ tal que $ax = m$, lo que implica, multiplicando por $b$, $abx = bm$. Es decir, $ab \\mid b[a,b]$.<\/p>\n\n\n\n M\u00e1s a\u00fan, sabemos que el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo divide a todos los m\u00faltiplos comunes de $a$ y $b,$ y $ab$ es uno de ellos. De este modo $\\frac{ab}{[a,b]} \\mid b.$<\/p>\n\n\n\n Y de que $b\\mid m$, podemos hacer un razonamiento an\u00e1logo para deducir que $\\frac{ab}{[a,b]} \\mid a.$<\/p>\n\n\n\n Ya teniendo $\\frac{ab}{[a,b]} \\mid b$ y $\\frac{ab}{[a,b]} \\mid a,$ concluimos que $\\frac{ab}{[a,b]} \\mid (a,b).$ Esto es porque $(a,b)$ el m\u00e1ximo com\u00fan divisor, es una combinaci\u00f3n lineal de $a$ y $b$ y una propiedad de la divisibilidad nos dec\u00eda: “Si $m,p, q \\in \\mathbb{Z}$, $m \\mid p$ y $m\\mid q$, entonces $m\\mid \\alpha s + \\beta q \\enspace \\forall \\alpha,\\beta \\in \\mathbb{Z}.$”<\/p>\n\n\n\n Por la misma propiedad de divisibilidad, si $\\frac{ab}{[a,b]} \\mid (a,b),$ entonces $\\frac{ab}{[a,b]} \\mid (a,b)[a,b].$ Lo que implica $(a,b) \\mid\\frac{ab}{[a,b]}\\cdot y.$ Nuevamente por la propiedad, $(a,b) \\mid \\Big(\\frac{ab}{[a,b]}\\Big)\\cdot \\Big(y\\Big) \\cdot \\Big(\\frac{[a,b]}{y}\\Big).$ Es decir $(a,b) \\mid ab.$ Consecuentemente, $(a,b)[a,b]t = ab$, y por ende $ab \\mid (a,b)[a,b]$, de la definici\u00f3n de divisibilidad y usando nuevamente la propiedad. De aqu\u00ed concluimos que $(a,b)[a,b] \\in ab\\mathbb{Z}.$<\/p>\n\n\n\n Se demostr\u00f3 en la entrada de blog anterior que $(a,b) \\mid a$ y $(a,b) \\mid b$. Es decir, $(a,b)k = a$ y $(a,b)l = b$, para algunos $k, l \\in \\mathbb{Z}.$ De donde $(a,b)k(a,b)l = ab.$ Como se ve, $\\frac{ab}{(a,b)},$ es m\u00faltiplo tanto de $a$ como de $b,$ por lo que tambi\u00e9n es m\u00faltiplo de $[a,b];$ as\u00ed, $\\frac{ab}{(a,b)} = w[a,b]$ para alguna $w \\in \\mathbb{Z}$ tal que $w> 0$. Igualdad que podemos multiplicar por $(a,b)$. De modo que $ab = w[a,b](a,b)$.<\/p>\n\n\n\n Ya que $[a,b](a,b) \\in ab\\mathbb{Z},$ $ab = wabz,$ lo que implica $wz = 1$, y de ello sabemos que $w$ y $z$ tambi\u00e9n son $1$, pues los \u00fanicos enteros que tienen inverso multiplicativo son $1$ y $-1$, pero elegimos $w>0$, lo que descarta $w = z = -1$.<\/p>\n\n\n\n Se concluye $w= 1$, y as\u00ed $ab = [a,b](a,b)$, como quer\u00edamos.<\/p>\n\n\n\n $\\square$<\/p>\n\n\n\n Ejemplo.<\/em> El m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de $6$ y $8$ es $[6,8 ] = 24.$ El m\u00e1ximo com\u00fan divisor de $6$ y $8$ es $(6,8) = 2.$ De este modo, $[6,8](6,8) = (2)(24) = 48 = (6)(8).$<\/p>\n\n\n\n El teorema 2 afirma que esto pasa para cada par de enteros que elijamos. Podr\u00edamos estar todo el d\u00eda jugando con parejas de enteros $m,n$, fueran estos ambos positivos, ambos negativos, uno y uno, n\u00fameros muy grandes o chicos o combinados, y as\u00ed nos dar\u00edamos cuenta de que multiplicar $m$ por $n$ da lo mismo que primero calcular el m\u00e1ximo com\u00fan divisor $(m,n)$, luego el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo $[m,n]$ y multiplicar $(m,n)[m,n].$ Si se te ocurre una aplicaci\u00f3n interesante para este resultado, te invito a que me lo cuentes.<\/p>\n\n\n\n Y por supuesto que nos interesar\u00eda saber si podemos calcular el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo para n enteros, lo que siempre es posible pues \u00e9ste n\u00famero siempre existe, aunque sean muchos los enteros involucrados, y es lo que mostraremos a continuaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n Teorema 3. <\/strong>Sean $a_1, a_2, \\ldots , a_n \\in \\mathbb{Z}$ tales que $a_n\\neq 0 \\enspace \\forall n$. El m\u00e1ximo com\u00fan divisor de $n$ n\u00fameros es $$ \\Big[a_1, a_2, \\ldots , a_n\\Big] = \\Big[[a_1, a_2, \\ldots , a_{n-1}], a_n\\Big]. $$<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> Haremos una prueba por inducci\u00f3n, donde el caso base consiste en mostrar que $$\\Big[a_1, a_2, a_3\\Big] = \\Big[[a_1, a_2], a_3 \\Big].$$<\/p>\n\n\n\n $\\Big[[a_1, a_2], a_3 \\Big] = [a_1, a_2]\\mathbb{Z}\\cap a_3\\mathbb{Z} = (a_1\\mathbb{Z}\\cap a_2\\mathbb{Z})\\cap a_3\\mathbb{Z} = a_1\\mathbb{Z}\\cap a_2\\mathbb{Z}\\cap a_3\\mathbb{Z} $, por definici\u00f3n de m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo y la asociatividad de la intersecci\u00f3n de conjuntos.<\/p>\n\n\n\n Como la intersecci\u00f3n de ideales es un ideal, existe $m\\in \\mathbb{Z}$ tal que $$m\\mathbb{Z} = a_1\\mathbb{Z}\\cap a_2\\mathbb{Z}\\cap a_3\\mathbb{Z} = [a_1, a_2, a_3].$$<\/p>\n\n\n\n Suponemos, por hip\u00f3tesis de inducci\u00f3n, que $ [a_1, a_2, \\ldots , a_{n-1}] = \\Big[[a_1, a_2, \\ldots , a_{n-2}], a_{n-1}\\Big],$ y queremos demostrar $ [a_1, a_2, \\ldots , a_n] = \\Big[[a_1, a_2, \\ldots , a_{n-1}], a_n\\Big].$<\/p>\n\n\n\n Ya que, por hip\u00f3tesis de inducci\u00f3n existe $q \\in \\mathbb{Z}$ tal que $q\\mathbb{Z} = a_1\\mathbb{Z}\\cap a_2\\mathbb{Z}\\cap \\ldots \\cap a_{n-1}\\mathbb{Z}$, \\begin{align*} \\Big[[a_1, a_2, \\ldots , a_{n-1}], a_n\\Big] &= q\\mathbb{Z}\\cap a_n\\mathbb{Z}\\\\ &= (a_1\\mathbb{Z}\\cap a_2\\mathbb{Z}\\cap\\ldots\\cap a_{n-1}\\mathbb{Z})\\cap a_n\\mathbb{Z} \\\\ &= a_1\\mathbb{Z}\\cap a_2\\mathbb{Z}\\cap\\ldots\\cap a_{n-1}\\mathbb{Z}\\cap a_n\\mathbb{Z}. \\end{align*}<\/p>\n\n\n\n La \u00faltima igualdad formalmente tambi\u00e9n se demuestra por inducci\u00f3n, usando el hecho de que la intersecci\u00f3n de conjuntos es un conjunto y reduciendo todo al caso base para dos conjuntos.<\/p>\n\n\n\n Dado que la intersecci\u00f3n de ideales es un ideal, $\\exists w\\in \\mathbb{Z}$ tal que $$w\\mathbb{Z} = q\\mathbb{Z}\\cap a_n\\mathbb{Z} = [a_1, a_2, \\ldots , a_n].$$<\/p>\n\n\n\n Por lo tanto, $$w\\mathbb{Z} = [a_1, a_2, \\ldots , a_n] = \\Big[[a_1, a_2, \\ldots , a_{n-1}], a_n\\Big]. $$<\/p>\n\n\n\n $\\square$<\/p>\n\n\n\n A veces se dice que la definici\u00f3n de $ [a_1, a_2, \\ldots , a_n]$ es $\\Big[[a_1, a_2, \\ldots , a_{n-1}], a_n\\Big]$ y se omite una demostraci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n Para finalizar este texto, demostraremos dos resultados sobre m\u00e1ximo com\u00fan divisor, adem\u00e1s de los que ya ten\u00edamos, y que se parecen a lo que ya hemos hecho hoy.<\/p>\n\n\n\n Primero una proposici\u00f3n que nos servir\u00e1 para una de las pruebas.<\/p>\n\n\n\n Proposici\u00f3n 3.<\/strong> Sean $a,b,c \\in \\mathbb{Z}$.Se cumple la igualdad: $a\\mathbb{Z}(b\\mathbb{Z} + c\\mathbb{Z}) = a\\mathbb{Z}b\\mathbb{Z} + a\\mathbb{Z}c\\mathbb{Z}.$<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> Para verificar que $a\\mathbb{Z}(b\\mathbb{Z} + c\\mathbb{Z}) \\subseteq a\\mathbb{Z}b\\mathbb{Z} + a\\mathbb{Z}c\\mathbb{Z},$ tomemos $x\\in a\\mathbb{Z}(b\\mathbb{Z} + c\\mathbb{Z}).$ Entonces $x = az_1(bz_2 + cz_3)$, para algunos $z_1, z_2, z_3 \\in \\mathbb{Z}.$ Y por la distributividad y asociatividad en $\\mathbb{Z}$ se tiene que $\\square$<\/p>\n\n\n\n Y ahora, veremos que el MCD saca constantes. O lo que es mismo, da igual calcular un m\u00e1ximo com\u00fan divisor de $(b,c)$ y luego multiplicarlo por una constante, que multiplicar primero $b$ y $c$ por una constante antes de calcularle a eso el m\u00e1ximo com\u00fan divisor.<\/p>\n\n\n\n Teorema 4.<\/strong> Si $k,b,c \\in \\mathbb{Z}$ y $k>0$, entonces $(kb, kc) = k(b, c).$<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> Tenemos que De este modo, $k(b,c) \\mid (kb, kc)$ y $(kb, kc) \\mid k(b,c)$. Ya que ambos $k(b,c)$ y $(kb,kc)$ son no negativos, se garantiza la igualdad $k(b,c) = (kb, kc).$<\/p>\n\n\n\n $\\square$<\/p>\n\n\n\n Teorema 5.<\/strong> Sean $a_1,a_2, \\ldots, a_n \\in \\mathbb{Z}$ tales que $a_n\\neq 0$ para toda $n\\in \\mathbb{N}.$ El m\u00e1ximo com\u00fan divisor de $n$ n\u00fameros es $$(a_1, a_2, \\ldots, a_n) = ((a_1, a_2, \\ldots , a_{n-1}), a_n).$$<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> Haremos la prueba por inducci\u00f3n, donde el caso base es $(a_1, a_2, a_3) = ((a_1, a_2), a_3).$ No hay tanto que demostrar, pues esta es la definici\u00f3n de m\u00e1ximo com\u00fan divisor para tres n\u00fameros, y aqu\u00ed la raz\u00f3n de ello:<\/p>\n\n\n\n Sea $(a_1, a_2) = m_1$. Notamos que ya que el m\u00e1ximo com\u00fan divisor para dos n\u00fameros est\u00e1 definido, entonces el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de tres n\u00fameros est\u00e1 definido, pues existir\u00e1 el generado de $(a_1, a_2)$ y $a_3:$ $$(a_1, a_2)\\mathbb{Z} + a_3\\mathbb{Z} = m_1\\mathbb{Z} + a_3\\mathbb{Z} = \\langle {m_1, a_3} \\rangle = m_2\\mathbb{Z},$$ con $m_2\\in \\mathbb{Z},$ $m_2>0.$ Como la suma en $\\mathbb{Z}$ es asociativa, $((a_1, a_2), a_3) = (a_1, (a_2,a_3)) = (a_1, a_2, a_3). $<\/p>\n\n\n\n Adem\u00e1s suceder\u00e1 que $0 \\leq m_2 \\leq m_1$, pues $m_2$ divide a $m_1$.<\/p>\n\n\n\n Ya que el m\u00e1ximo com\u00fan divisor para tres n\u00fameros est\u00e1 definido, tambi\u00e9n lo est\u00e1 el m\u00e1ximo com\u00fan divisor para $n$ n\u00fameros, y la prueba de esto formalmente se hace por inducci\u00f3n, y reduciendo el problema al caso base de una suma de dos t\u00e9rminos.<\/p>\n\n\n\n Supongamos ahora por hip\u00f3tesis de inducci\u00f3n, $(a_1, a_2, \\ldots , a_{n-1}) = ((a_1, a_2, \\ldots , a_{n-2}), a_{n-1}).$<\/p>\n\n\n\n Queremos demostrar que $(a_1, a_2, \\ldots , a_n) = ((a_1, a_2, \\ldots , a_{n-1}), a_n).$<\/p>\n\n\n\n La hip\u00f3tesis nos dice que existe un entero $m_{n-1}$ tal que $m_{n-1}\\mathbb{Z} = \\langle{a_1, a_2, \\ldots , a_{n-1}}\\rangle$, y de este modo estar\u00e1 tambi\u00e9n definido el m\u00e1ximo com\u00fan divisor para $n$ n\u00fameros, simplemente sumando: M\u00e1s a\u00fan, de la asociatividad en $\\mathbb{Z}$ se tiene que por lo que $(a_1, a_2, \\ldots , a_n) = ((a_1, a_2, \\ldots , a_{n-1}), a_n).$<\/p>\n\n\n\n Adem\u00e1s, $0 \\leq m_n \\leq m_{n-1} \\leq \\ldots \\leq m_1,$ pues $m_n \\mid m_{n-1}$, $m_{n-1} \\mid m_{n-2}, \\ldots \\enspace m_2 \\mid m_1$, por c\u00f3mo se fueron construyendo los $m_i\\mathbb{Z}$.<\/p>\n\n\n\n $\\square$<\/p>\n\n\n\n8<\/strong><\/td> 6<\/strong><\/td> 2<\/span><\/strong><\/td><\/tr> 4<\/td> 3<\/td> 2<\/span><\/strong><\/td><\/tr> 2<\/td> 3<\/td> 2<\/span><\/strong><\/td><\/tr> 1<\/td> 3<\/td> 3<\/span><\/strong><\/td><\/tr> \ufeff<\/td> 1<\/td> \ufeff<\/td><\/tr><\/tbody><\/table> M\u00ednimo Com\u00fan M\u00faltiplo<\/h3>\n\n\n\n
Luego, $\\frac{ab}{(a,b)} \\in \\mathbb{Z}$ implica que podemos dividir la anterior ecuaci\u00f3n entre $(a,b),$ obteniendo $al = bk = \\frac{ab}{(a,b)}.$<\/p>\n\n\n\nM\u00e1s propiedades para el m\u00e1ximo com\u00fan divisor<\/h3>\n\n\n\n
$$ x = (az_1)(bz_2) + (az_1)(cz_3) \\in a\\mathbb{Z}b\\mathbb{Z} + a\\mathbb{Z}c\\mathbb{Z}.$$
La contenci\u00f3n $a\\mathbb{Z}b\\mathbb{Z} + a\\mathbb{Z}c\\mathbb{Z} \\subseteq a\\mathbb{Z}(b\\mathbb{Z} + c\\mathbb{Z})$ es igualmente f\u00e1cil. Toda la igualdad se pudo haber demostrado directamente, pues, cada uno de los pasos del p\u00e1rrafo anterior es un si y s\u00f3lo s\u00ed.<\/p>\n\n\n\n
\\begin{alignat*}{2} k(b,c)\\mathbb{Z} &= k\\mathbb{Z}((b,c)\\mathbb{Z}) \\qquad &&\\text{(se demostr\u00f3 en la proposici\u00f3n 2)}\\\\ &= k\\mathbb{Z}(b\\mathbb{Z} + c\\mathbb{Z}) \\qquad &&\\text{(definici\u00f3n de $(b,c)$)}\\\\ &= k\\mathbb{Z}b\\mathbb{Z} + k\\mathbb{Z}c\\mathbb{Z} \\qquad &&\\text{(proposici\u00f3n 3)}\\\\ &= kb\\mathbb{Z} + kc\\mathbb{Z} \\qquad &&\\text{(conmutatividad y asociatividad en $\\mathbb{Z}$)}\\\\ &= (kb, kc)\\mathbb{Z}. \\qquad &&\\text{(definici\u00f3n de $(kb, kc)$)} \\end{alignat*}<\/p>\n\n\n\n
\\begin{align*} ((a_1, a_2), a_3) &= (a_1, a_2)\\mathbb{Z} + a_3\\mathbb{Z} \\\\ &= (a_1\\mathbb{Z} + a_2\\mathbb{Z}) + a_3\\mathbb{Z} \\\\ &= a_1\\mathbb{Z} + a_2\\mathbb{Z} + a_3\\mathbb{Z} \\\\ &= (a_1, a_2, a_3). \\end{align*}<\/p>\n\n\n\n
$$((a_1, a_2, \\ldots , a_{n-1}), a_n) = m_n\\mathbb{Z} = m_{n-1}\\mathbb{Z} + a_n\\mathbb{Z}. $$<\/p>\n\n\n\n
\\begin{align*} m_{n-1}\\mathbb{Z} + a_n\\mathbb{Z} &= (a_1\\mathbb{Z} + a_2\\mathbb{Z} + a_{n-1}\\mathbb{Z}) + a_n\\mathbb{Z} \\\\ &= a_1\\mathbb{Z} + a_2\\mathbb{Z} + a_{n-1}\\mathbb{Z} + a_n\\mathbb{Z} \\\\ &= (a_1, a_2, \\ldots , a_n), \\end{align*}<\/p>\n\n\n\nEjercicios<\/h3>\n\n\n\n
Entradas relacionadas<\/h3>\n\n\n\n