El teorema fundamental de la aritm\u00e9tica afirma que todo entero tiene una descomposici\u00f3n \u00fanica como producto de primos. Nos referimos a situaciones del tipo $$8 = 2 \\cdot 2 \\cdot 2 = 2^3 \\text{,}$$ $$13 = 13^1 \\text{,}$$ $$152 = 2^3\\times 19, \\enspace \\text{etc.}$$<\/p>\n\n\n\n
Los n\u00fameros primos son los \u00e1tomos de los n\u00fameros enteros, ya que a partir de multiplicarlos se obtiene cualquier entero, sea \u00e9ste primo o compuesto. Si $z$ es primo, $z = p^1.$ Si $z$ es compuesto, $z = p_1^{k_1}\\cdot p_2^{k_2} \\cdot p_n^{k_n}$, siendo $p_1, p_2, \\ldots , p_n$ n\u00fameros primos. E inversamente, a cualquier n\u00famero se le puede encontrar su descomposici\u00f3n. Es este hecho lo que hoy demostraremos.<\/p>\n\n\n\n
Hay una infinidad de primos; Euclides fue el primero en notarlo. Los n\u00fameros primos siguen siendo interesantes para los matem\u00e1ticos hoy en d\u00eda; primero por la irregularidad con que van apareciendo en la recta num\u00e9rica y porque hay muchas cosas que a\u00fan no se sabe acerca de su raro comportamiento. Por ejemplo, se conjetura que hay infinitos “primos gemelos”, es decir, se cree que siempre es posible encontrar dos primos $a$ y $b$ que est\u00e9n distanciados en dos unidades; no importa qu\u00e9 tan alejados est\u00e9n del cero. El $3$ y el $5$ son primos gemelos. Tambi\u00e9n los son el $17$ y el $19$. Cuando los n\u00fameros son muy grandes ya es dif\u00edcil verificar que cierto n\u00famero es primo, y si adem\u00e1s hay infinitos de ellos, avanzar caso por caso ser\u00eda interminable. Mejor estrategia es intentar encontrar patrones en estos n\u00fameros, en aras de resolver el problema de un modo m\u00e1s general.<\/p>\n\n\n\n
As\u00ed, dado un n\u00famero primo $p$, \u00e9ste es de la forma $4n +1$ o de la forma $4n -1$ para alguna $n \\in \\mathbb{N}$. A su vez, para aqu\u00e9llos primos que pertenecen a la primera categor\u00eda, que son los de la forma $4n+1$, siempre existe su expresi\u00f3n como una suma de cuadrados: $p = 4n + 1 = m^2 + n^2$, $n, m \\in \\mathbb{Z}\\text{.}$ Pero a los primos de la segunda categor\u00eda es imposible expresarlos como suma de cuadrados (puedes demostrar estos dos hechos). El matem\u00e1tico Euler fue el primero en oficialmente verificar estos resultados que actualmente forman parte de un curso b\u00e1sico de teor\u00eda de n\u00fameros.<\/p>\n\n\n\n
Los n\u00fameros primos tambi\u00e9n han encontrado aplicaciones en criptograf\u00eda, pues es bien sabido que si se eligen dos primos $p_1$ y $p_2$ tales que al multiplicarlos se obtenga un n\u00famero compuesto $z$ de m\u00e1s de 100 d\u00edgitos, y si luego se establece que $p_1$ y $p_2$ sean la contrase\u00f1a de mi mensaje cifrado pero yo \u00fanicamente doy a conocer el n\u00famero compuesto $z$ a otra persona, entonces a una computadora le resultar\u00eda imposible factorizar $z$ en un corto lapso de tiempo. \u00a1Le tomar\u00eda a\u00f1os! De ah\u00ed que la contrase\u00f1a secreta ser\u00eda indescifrable; m\u00e1s a\u00fan si \u00e9sta se cambiara cada a\u00f1o.<\/p>\n\n\n\n
Ahora, lo que se conoce como el “teorema fundamental de la aritm\u00e9tica” deja de ser v\u00e1lido si consideramos a los enteros como un subconjunto de otra estructura num\u00e9rica como los complejos. Ya que por ejemplo, $$12 = (1 + \\sqrt{-11})(1 – \\sqrt{-11})$$ pero tambi\u00e9n $$12 = (2 + \\sqrt{-8})(2 – \\sqrt{-8})\\text{.}$$<\/p>\n\n\n\n
Esto quiere decir que en $\\mathbb{C}$ es posible encontrar dos o m\u00e1s factorizaciones para un mismo entero.<\/p>\n\n\n\n
Pero si nos restringimos a $\\mathbb{Z}$ (o hasta $\\mathbb{R}$), podemos afirmar que la descomposici\u00f3n de un entero en potencias de primos es \u00fanica salvo por el orden en que se hagan las multiplicaciones. Por ejemplo, $152 = 2 \\cdot 2 \\cdot 2 \\cdot 19 = 2\\cdot 19 \\cdot 2^2$, donde el orden de los multiplicandos es distinto en ambas factorizaciones, pero los n\u00fameros a ser multiplicados son exactamente iguales.<\/p>\n\n\n\n
Antes de pasar al teorema del d\u00eda, recordemos las necesarias definiciones y proposiciones.<\/p>\n\n\n\n
Proposici\u00f3n 1.<\/strong> Sean $x,y \\in \\mathbb{Z}.$ Dem.-<\/em> Sea $z \\in \\mathbb{Z}$ tal que $xz = y.$ As\u00ed pues, $y = xz = (-1)(-1)(xz) = (-x)(-z),$ lo que demuestra que, $x$ es divisor de $y$ si y s\u00f3lo si $-x$ tambi\u00e9n es divisor de $y$.<\/p>\n\n\n\n Luego, $-x \\enspace \\vert \\enspace y \\enspace \\iff \\enspace (-x)(-z) = y \\enspace \\iff (-1)(-x)(-z) = (-1)y \\enspace \\iff (x)(-z) = -y \\enspace \\iff x\\enspace \\vert -y.$<\/p>\n\n\n\n Finalmente, $x\\enspace \\vert -y \\enspace \\iff (x)(-z) = -y \\enspace \\iff \\enspace (-x)(z) = -y \\enspace \\iff \\enspace -x \\enspace \\vert -y\\text{.}$<\/p>\n\n\n\n $\\square$<\/p>\n\n\n\n Proposici\u00f3n 2.<\/strong> Sean $n,m \\in \\mathbb{Z}^+\\text{.}$ Si $n \\enspace \\vert \\enspace m\\text{,}$ entonces $n\\leq m\\text{.}$<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> Sea $x \\in \\mathbb{Z}^+$ tal que $nx = m$. Ya que $ x>0, n>0, m>0 \\text{,}$ entonces $0 < n \\leq nx = m \\text{.}$ Por transitividad, $n \\leq m$.<\/p>\n\n\n\n $\\square$<\/p>\n\n\n\n Definici\u00f3n (N\u00famero primo).<\/strong> Un entero $z \\in \\mathbb{Z}$ es primo si y s\u00f3lo si tiene exactamente cuatro divisores: $1, \\enspace -1, \\enspace z \\enspace \\text{y } -z \\text{.}$<\/p>\n\n\n\n Proposici\u00f3n 3.<\/strong> $2$ es primo.<\/p>\n\n\n\n Dem.- <\/em>Supongamos que $x \\in \\mathbb{Z}$ divide a $2.$ Como $x$ es divisor de $2$ y $-x$ tambi\u00e9n lo es, asumamos sin p\u00e9rdida de generalidad, $x>0\\text{.}$ Como $x \\leq 2$, entonces $x=1$ o $x = 2$. Luego, $2$ tiene exactamente cuatro divisores, que son $1$, $2$, $-1$ y $-2$.<\/p>\n\n\n\n $\\square$<\/p>\n\n\n\n Proposici\u00f3n 4.<\/strong> Sean $a,b,c \\in \\mathbb{Z}.$ Si $a \\enspace \\vert \\enspace bc$ y $(a,b) = 1\\text{,}$ entonces $a \\enspace \\vert \\enspace c\\text{.}$<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> Esto fue detallado en la secci\u00f3n de m\u00e1ximo com\u00fan divisor<\/a>.<\/p>\n\n\n\n $\\square$<\/p>\n\n\n\n Proposici\u00f3n 5.<\/strong> Sean $z,p \\in \\mathbb{Z}$, con $p$ primo. Si $p \\nmid z\\text{,}$ entonces $(p,z) = 1\\text{.}$<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> Ya que $(p,z) > 0$ y $(p,z)$ debe dividir tanto a $z$ como a $p$, entonces $(p,z) \\in \\{1, p\\}\\text{.}$ Por lo que, si $p \\nmid z\\text{,}$ entonces $(p,z) \\neq p$ y forzosamente, $(p,z) = 1\\text{.}$<\/p>\n\n\n\n $\\square$<\/p>\n\n\n\n Ahora bien, en la secci\u00f3n de ideales y divisibilidad<\/a> se mencion\u00f3 que los ideales surgieron como una generalizaci\u00f3n de propiedades elementales que cumplen los enteros. Mejor a\u00fan, propiedades que los n\u00fameros primos cumplen en espec\u00edfico tambi\u00e9n son generalizables a lo que se conoce como ideales primos. Ah\u00ed se trat\u00f3 como un caso particular de ideal primo, la siguiente propiedad que cumplen los primos en $\\mathbb{Z}$:<\/p>\n\n\n\n Proposici\u00f3n 6.<\/strong> Sea $p \\in \\mathbb{Z},$ $p$ primo. Si $p \\enspace \\vert \\enspace ab, \\enspace a,b \\in \\mathbb{Z}\\text{,}$ entonces $p \\enspace \\vert \\enspace a$ o $p \\enspace \\vert \\enspace b\\text{.}$<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> Si $p \\enspace \\vert \\enspace a$ no hay nada que demostrar.<\/p>\n\n\n\n Sea $p$ primo tal que $p\\nmid a$. Entonces, por la proposici\u00f3n 5, $(p,a) = 1\\text{.}$ Como $p \\enspace \\vert \\enspace ab$ y $(p,a) = 1\\text{,}$ entonces $p \\enspace \\vert \\enspace b$ (proposici\u00f3n 4).<\/p>\n\n\n\n $\\square$<\/p>\n\n\n\n Teorema fundamental de la aritm\u00e9tica.<\/strong> Si $z \\in \\mathbb{Z}^+\\text{,}$ con $\\enspace z>1\\text{,}$ existe un \u00fanico $k\\in \\mathbb{N}$ y \u00fanicos $p_1, p_2, \\ldots , p_k$ n\u00fameros primos tales que $z = p_1\\cdot p_2 \\cdot \\ldots \\cdot p_k \\text{.}$<\/p>\n\n\n\n Consideremos el n\u00famero $1060 = 2^2 \\cdot 5 \\cdot 53$. Ciertamente, para este caso existe $k = 4\\text{,} \\enspace 4\\in \\mathbb{N}$, tal que $1060 = p_1\\cdot p_2 \\cdot p_3 \\cdot p_4 \\text{,}$ con $p_1 = 2, p_2 = 2, p_3 = 5, p_4 = 53\\text{.}$ Y si intent\u00e1ramos factorizar tal n\u00famero varias veces, s\u00f3lo lo conseguir\u00edamos expresar como producto de estos cuatro n\u00fameros, tanto que asegurar\u00edamos que la factorizaci\u00f3n es \u00fanica (aunque el por qu\u00e9 de esto no es tan evidente).<\/p>\n\n\n\n \u00bfPero c\u00f3mo podr\u00edamos demostrar que la aseveraci\u00f3n es cierta para cualquier $z \\in \\mathbb{Z}^+ \\text{?}$ Inducci\u00f3n parece un buen camino; primero verificar que el enunciado es v\u00e1lido para el caso base $n = 2$, luego suponer que todos los enteros menores que $z$ tambi\u00e9n son v\u00e1lidos, y finalmente usar esto para ver que $z$ mismo tambi\u00e9n es factorizable como producto de primos.<\/p>\n\n\n\n Una vez concluido que siempre existe una factorizaci\u00f3n, demostraremos su unicidad.<\/p>\n\n\n\n Dem.-<\/em> Procedemos a probar la existencia de la factorizaci\u00f3n en primos, por inducci\u00f3n sobre $z$:<\/p>\n\n\n\n Caso base. <\/span>Ya que $z>1$, la base inductiva es $z =2.$ 2 es primo y $2$ divide a $2,$ por lo que su factorizaci\u00f3n en primos es \u00e9l mismo.<\/p>\n\n\n\n Base inductiva.<\/span> Suponemos que $z > 2$ y que todo $w \\in \\mathbb{Z}^+$ menor a $z$ tambi\u00e9n tiene una factorizaci\u00f3n en primos.<\/p>\n\n\n\n Por demostrar:<\/span> $z$ tiene una factorizaci\u00f3n en primos.<\/p>\n\n\n\n Si $z$ es primo, existe su factorizaci\u00f3n $z = z.$ Como $a$ es distinto de $z$, entonces $b \\neq 1$, de modo que $b \\geq 2.$ Observamos entonces que $a < z$, de lo contrario, $a\\geq z$ y $b\\geq 2$ implicar\u00eda que $z= ab \\geq 2z$, lo cual es una contradicci\u00f3n pues $2z$ es positivo, estrictamente mayor a $z$. Y por el mismo argumento, $b < z.$<\/p>\n\n\n\n Todos los n\u00fameros menores que $z$ eran factorizables como producto de primos, as\u00ed que, por la hip\u00f3tesis de inducci\u00f3n, existen $s \\in \\mathbb{N}$ y $q_1, \\ldots , q_s$ primos tales que $a = q_1 \\cdot q_2 \\cdot \u2026 \\cdot q_s$. Asimismo existen $t \\in \\mathbb{N}$ y $r_1, \\ldots , r_t$ n\u00fameros primos tales que $b = r_1\\cdot r_2 \\cdot \\ldots \\cdot r_t.$<\/p>\n\n\n\n Por lo anterior, $z = (q_1 \\cdot q_2 \\cdot \u2026 \\cdot q_s)( r_1\\cdot r_2 \\cdot \\ldots \\cdot r_t), $ un producto de primos, y esto termina la primera parte de la prueba.<\/p>\n\n\n\n Procedemos ahora a demostrar la unicidad, suponiendo que existen dos factorizaciones diferentes para $z$. Entonces el conjunto $$ A = \\{ z \\in \\mathbb{Z}^+ \\enspace | \\enspace z>1, \\text{y} \\enspace z\\text{ tiene dos factorizaciones en primos} \\} \\neq \\emptyset \\text{.}$$<\/p>\n\n\n\n Trat\u00e1ndose de n\u00fameros positivos y por lo tanto, naturales, por el principio del buen orden, existir\u00eda un elemento m\u00ednimo en $A$, llam\u00e9mosle $u$. As\u00ed, Agrupando t\u00e9rminos, $ (p_1)(p_2\\cdot \\ldots \\cdot p_k) = q_1\\cdot q_2 \\cdot \\ldots \\cdot q_l $, es decir $p_1 \\enspace \\vert \\enspace q_1 \\cdot q_2 \\cdot \\ldots \\cdot q_l\\text{.}$ Y por la proposiciones $6$ y $5$, $p_1 \\enspace \\vert \\enspace q_1$ o bien, $(p_1, q_1) = 1$.<\/p>\n\n\n\n Si $p_1 \\enspace \\vert \\enspace q_1,$ como $q_1$ es primo, sus divisores son \u00fanicamente $1, -1, q_1$ y $-q_1$. Pero $p_1$ es primo mayor que cero y 1 no es primo. As\u00ed, $p_1 = q_1$.<\/p>\n\n\n\n En el segundo caso, es decir, si $(p_1, q_1) = 1$, entonces, por la proposici\u00f3n 5, $p_1 \\enspace \\vert \\enspace q_2 \\cdot q_3 \\cdot \\ldots \\cdot q_l .$ Y nuevamente surgen dos casos: $p_1 \\enspace \\vert \\enspace q_2$ o $(p_1, q_2) = 1\\text{.}$ En el primer caso, $p_1 \\enspace \\vert \\enspace q_2$ implica $p_1 = q_2$. En el segundo caso, $(p_1, q_2) = 1$ implica $p_1 \\enspace \\vert \\enspace q_3\\cdot q_4 \\cdot \\ldots \\cdot q_k \\text{.}$<\/p>\n\n\n\n Iterando el proceso, se atravesar\u00eda la lista de $q_j$s hasta llegar a que $p_1 = q_{l-1}\\cdot q_l.$ Entonces, o bien $p_1 = q_{l-1}$ o bien $p_1 = q_l$. Concatenando con todo lo que ya se ten\u00eda, concluimos que $p_1 = q_1$ \u00f3 $p_1 = q_2$ \u00f3 $\\ldots$ \u00f3 $p_1 = q_l.$ De modo que $p_1$ es uno de los factores primos en $q_1 \\cdot q_2 \\cdot \\ldots \\cdot q_l,$ digamos $p_1 = q_j$ para cierta $j\\in \\mathbb{N}$.<\/p>\n\n\n\n Sim\u00e9tricamente sucede lo mismo; es decir, ya que $u = (q_1)(q_2\\cdot \\ldots \\cdot q_l) = p_1 \\cdot \\ldots \\cdot p_k \\text{,}$ entonces $q_1$ divide a $p_1 \\cdot \\ldots \\cdot p_k$, de donde iniciando el mismo proceso del anterior p\u00e1rrafo y analizando todos los casos, se obtendr\u00eda que $q_1 = p_1$ \u00f3 $q_1 = p_2$ \u00f3 $\\ldots$ \u00f3 $q_1 = p_k$. Por lo que $q_1$ es alguno de los factores primos en $p_1\\cdot \\ldots \\cdot p_k$, digamos que $q_1 = p_i \\text{.}$ As\u00ed, As\u00ed, usando la ley de cancelaci\u00f3n en $\\mathbb{Z}$, $p_1\\cdot p_2 \\cdot \\ldots \\cdot p_k = p_1 \\cdot q_2 \\cdot \\ldots \\cdot q_l$ implica que $$ u_1 = p_2\\cdot p_3 \\cdot \\ldots \\cdot p_k = q_2 \\cdot q_3 \\cdot \\ldots \\cdot q_l \\text{,}$$ con $u_1 < u \\text{.}$<\/p>\n\n\n\n Volviendo a iterar todo el procedimiento y concatenando, al final se obtiene que $p_1 = q_1, \\enspace p_2 = q_2, \\enspace \\ldots , \\enspace p_k= q_l$, y as\u00ed deducimos que $k =l$. Por lo tanto, cada t\u00e9rmino en la primera y la segunda factorizaci\u00f3n de $u$ es exactamente igual. Pero esto contradice el hecho de que o las factorizaciones eran distintas, o $k$ era distinto de $l$.<\/p>\n\n\n\n La contradicci\u00f3n sucedi\u00f3 por suponer que exist\u00eda un conjunto $A\\neq \\emptyset$ de enteros con dos o m\u00e1s factorizaciones. As\u00ed pues, $A = \\emptyset.$<\/p>\n\n\n\n $\\square$
$$x \\enspace \\vert \\enspace y \\enspace \\iff -x \\enspace \\vert \\enspace y \\enspace \\iff x \\enspace \\vert \\enspace -y \\enspace \\iff -x \\enspace \\vert \\enspace -y \\enspace \\text{.}$$<\/p>\n\n\n\n
La noci\u00f3n de divisibilidad nos permite definir lo que es un n\u00famero primo:<\/p>\n\n\n\nDemostraci\u00f3n del teorema fundamental de la aritm\u00e9tica<\/h3>\n\n\n\n
Supongamos entonces que $z$ no es primo. Por definici\u00f3n de n\u00famero compuesto, $z = ab$, y adem\u00e1s podemos suponer $a>0$ ($-a$ tambi\u00e9n es divisor de $z$, por lo que no importa cu\u00e1l se elija, si $a$ o $-a$). Dado que $z>0$ y $a>0$, y como el producto de n\u00fameros positivos es positivo, $b>0$.<\/p>\n\n\n\n
$$u = p_1\\cdot p_2 \\cdot \\ldots \\cdot p_k = q_1 \\cdot q_2 \\cdot \\ldots \\cdot q_l\\text{,}$$ con $k$ distinto de $l,$ o con $p_1\\cdot p_2 \\cdot \\ldots \\cdot p_k \\neq q_1 \\cdot q_2 \\cdot \\ldots \\cdot q_l.$ Asumamos adem\u00e1s que el orden de los factores $p_i$ y $q_j$ es no decreciente.<\/p>\n\n\n\n
$$p_i \\leq q_1 \\leq q_j \\leq p_1 \\text{.} $$ Por lo tanto, $$ p_1 = q_1 \\text{.} $$<\/p>\n\n\n\n
<\/p>\n\n\n\nEjercicios<\/h3>\n\n\n\n
Entradas relacionadas<\/h3>\n\n\n\n