En su libro \u201cDe los poliacordes a P\u00f3lya; aventuras en la combinatoria musical\u201d, Michael Keith dice que hay precisamente 351 acordes esencialmente diferentes, si consideramos una longitud de 12 notas. Es decir, acordes de m\u00e1ximo 12 notas. <\/p>\n\n\n\n
El lector interesado puede buscar el libro e intentar tal vez seguir los razonamientos, pero en resumen, los acordes los relacionamos con una estructura llamada collar y usamos el Teorema de P\u00f3lya para contarlos. Hay varias maneras de contar acordes, dependiendo de su utilidad, pero centr\u00e9monos en la primera de ellas:<\/p>\n\n\n\n
Ya hemos discutido que hay intervalos consonantes e intervalos disonantes, y que aqu\u00e9llos acordes mayores y menores, que son consonantes, tienen un intervalo m\u00ednimo de tercera menor, pues se forman de una tercera mayor seguida de una tercera menor, o viceversa; de una tercera menor seguida de una tercera mayor. Keith explica: si nos fijamos en dos ondas cuyas frecuencias est\u00e1n desfasadas por una distancia $d$ (como es el caso de las notas en la escala crom\u00e1tica), – llamada \u201cfrecuencia de batido\u201d -, y tocamos ambas notas del intervalo simult\u00e1neamente, si \u00e9stas est\u00e1n muy cerca, digamos por un semitono, entonces esa frecuencia de batido estar\u00e1 produciendo una “frecuencia extra” alrededor de los $26 \\enspace Hz$ que es audible, pero que es perceptualmente diferente a una frecuencia de batido en aproximadamente los $54 \\enspace Hz$, que es el equivalente a tocar dos notas distanciadas por un tono; es decir 2 semitonos. Y a\u00fan m\u00e1s, hay una diferencia en la percepci\u00f3n cuando consideramos intervalos con distancias mayores a dos semitonos. Esto sirve como una justificaci\u00f3n de la consonancia y la disonancia desde la psico-ac\u00fastica, y simplemente ello se traduce en que los humanos percibimos extra\u00f1o algo que produce una frecuencia de batido alrededor de los $26 \\enspace Hz$, muy contrastantemente con intervalos que est\u00e9n separados por algo de 2 semitonos o m\u00e1s. <\/p>\n\n\n\n
De esta manera, si consideramos la historia de la m\u00fasica, Michael Keith muestra que un gran cuerpo de las piezas del periodo cl\u00e1sico hacia atr\u00e1s, satisfacen una condici\u00f3n trivial de tener acordes en los que no hay una distancia de semitono en esos acordes; es decir todos los acordes que se usan tienen un intervalo m\u00ednimo de tono. Si nosotros llamamos $a$ al par\u00e1metro que mida en una pieza, cu\u00e1ntos acordes hay que contienen al menos un intervalo de semitono, entonces podemos caracterizar a todas esas piezas que no lo contienen por $a = 0$ , la condici\u00f3n trivial. En la \u00faltima parte del periodo cl\u00e1sico y algo del periodo rom\u00e1ntico en adelante, apenas se empezaba a romper esa barrera del $a=0.$ Por ejemplo, en las \u00faltimas piezas de Beethoven, ocasionalmente sucede alg\u00fan acorde con $a>0,$ es decir, hay al menos un intervalo de segunda menor en alg\u00fan acorde. Luego, hay piezas alrededor del tiempo de Debussy que tienen un $a$ en promedio igual a 1; es decir, se va presentando un acorde, al menos, que contiene un intervalo de segunda menor y tal vez hay acordes conteniendo varios intervalos de segunda menor. Ya en el siglo XX, incluyendo piezas de jazz experimental, encontramos piezas con un valor de $a$ en promedio mayor que 1 o tal vez mucho mayor. Por ejemplo, Makrokosmos Vol 1 de Georges Crumb, tiene comienzos con acordes en donde hay al menos dos intervalos de segunda menor en un acorde, pasando por $a=4$, y en el desarrollo de la misma llegan a haber hasta 8 adyacencias en un acorde (ocho intervalos de segunda menor en un acorde).<\/p>\n\n\n\n
Michael Keith propone caracterizar el desarrollo musical, es decir, la historia de la m\u00fasica, a partir de analizar la cantidad de acordes que en una pieza hay, que tienen al menos un intervalo de segunda menor. Proporciona una gr\u00e1fica en la p. 48 de su libro, cap\u00edtulo 3. Entonces, efectivamente, para los primeros periodos, la $a$ ni siquiera llega al 1, habiendo varios m\u00fasicos dentro de esta categor\u00eda. Con el paso del tiempo empieza a alzarse ese $a$. Incluso, dice Keith, se puede hacer un programa que, a partir de saber contar los acordes, pueda crear piezas, que mediante variarse el par\u00e1metro $a$, cree cosas o m\u00e1s simples o m\u00e1s extra\u00f1as. Entonces, en tanto $a$ crezca, m\u00e1s extra\u00f1o ser\u00e1 el sonido general de la pieza. Y esto nuevamente: viene simplemente de analizar el caso en que, cuando un acorde contiene un intervalo de 2a menor, lo percibimos m\u00e1s extra\u00f1o a aqu\u00e9llos acordes que no lo tienen. Y ser\u00e1 a\u00fan m\u00e1s extra\u00f1o si hay varios intervalos de segunda menor en un acorde; $a=8$ ser\u00e1 m\u00e1s extra\u00f1o que $a=7$, etc. <\/p>\n\n\n\n
As\u00ed pues, la primera manera de contar acordes es considerar dos partes: aqu\u00e9llos acordes que no contienen un intervalo de segunda menor y luego aqu\u00e9llos acordes que s\u00ed contienen al menos uno. A estos \u00faltimos puede clasificarlos despu\u00e9s un poco m\u00e1s, pero esencialmente se comienza por partir de dos casos, lo que nos arroja un primer resultado, que es: hay solamente 30 acordes diferentes que tienen un intervalo m\u00ednimo de al menos 2. Es decir, ninguno de los cu\u00e1les contiene una distancia de semitono. Estos 30 acordes son los m\u00e1s com\u00fanmente usados en la m\u00fasica, y a\u00fan as\u00ed conforman un muy peque\u00f1o porcentaje de todos los posibles acordes, tomados con la longitud doce, es decir, las doce notas de una octava. Lo que tambi\u00e9n nos permite observar que aproximadamente el 90% de la m\u00fasica usa solamente 10% de los acordes disponibles. <\/p>\n\n\n\n
Luego Keith reduce esa lista de 30 acordes a una de 12, entre los que se incluyen mayores, acordes de s\u00e9ptima, sexta, y novena, acordes suspendidos, disminuidos o aumentados; que realmente es lo que respecto a la m\u00fasica pop estar\u00edamos nosotros acostumbrados.<\/p>\n\n\n\n
Si consideramos a un acorde como c\u00edclico, el acorde Cmaj7, formado por las notas C E G B en ese orden, contiene un intervalo de segunda menor, aunque impl\u00edcitamente (porque B y C no son notas adyacentes al ser tocadas). Es decir, si partimos de tomar todos los intervalos posibles en el acorde, de C a E, de C a G, de E a G, G a B, de B a C, entre otros, lo importante es que estamos incluyendo de B a C. <\/p>\n\n\n\n
Las otras tres maneras esenciales para contar acordes son seg\u00fan su periodo, variedad y el m\u00e1ximo intervalo que hay entre acordes (en vez de tomar el m\u00ednimo). Lo restante consiste en saber hacer estos conteos para casos espec\u00edficos y qu\u00e9 mejor lograr seguir los razonamientos del libro. Tal vez para ello se necesite trabajarlo con otro matem\u00e1tico. Ya conocemos que hay programas que hacen una implementaci\u00f3n de concepto efectiva. En SuperCollider, la biblioteca Miscellaneous Lib puede contar acordes tonales y atonales. Puedes tal vez t\u00fa proponerte hacer una clase que haga lo mismo en Python, o en SC. Tal vez el primer paso para ello sea ver unos videos de YouTube e intentar resolver alg\u00fan problema de LeetCode. <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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