{"id":566,"date":"2018-07-07T01:01:27","date_gmt":"2018-07-07T07:01:27","guid":{"rendered":"http:\/\/ofeliayorquesta.com\/blog\/?p=566"},"modified":"2018-08-06T21:57:23","modified_gmt":"2018-08-07T03:57:23","slug":"topologia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/ofeliayorquesta.com\/blog\/2018\/07\/07\/topologia\/","title":{"rendered":"Topolog\u00eda"},"content":{"rendered":"\n

Definici\u00f3n (Topolog\u00eda)<\/em>: Una topolog\u00eda\u00a0\u03c4 en un conjunto \u00a0es una colecci\u00f3n \u00a0de subconjuntos de \u03c4 que cumple las siguientes propiedades:<\/p>\n

    \n
  1. \u00a0\u2205, X \u2208\u00a0\u03c4.<\/li>\n
  2. La uni\u00f3n de elementos de cualquier subcolecci\u00f3n de\u00a0\u03c4 est\u00e1 en\u00a0\u03c4.<\/li>\n
  3. La intersecci\u00f3n de elementos de cualquier subcolecci\u00f3n finita de\u00a0\u03c4 est\u00e1 en\u00a0\u03c4.<\/li>\n<\/ol>\n

    A un conjunto X para el cual se ha especificado una topolog\u00eda\u00a0\u03c4\u00a0se le llama espacio topol\u00f3gico.<\/p>\n

    Dados un espacio topol\u00f3gico (X,\u00a0\u03c4\u00a0) , \u00a0y U\u00a0\u2286 X\u00a0 tal que U \u2208 \u03c4 llamamos a U\u00a0 un conjunto abierto.<\/p>\n

    En el diagrama, el cual sali\u00f3 del Munkres,\u00a0se puede observar que para una cantidad finita de elementos existen muchas posibles topolog\u00edas, donde los subconjuntos encerrados en un c\u00edrculo representan los conjuntos abiertos.<\/p>\n

    \"\"<\/p>\n

    Verificar que cada una de estas cosas es un espacio topol\u00f3gico, es m\u00e1s talacha que nada, porque hay que tomar todos los casos posibles de uniones e intersecciones. Pero, para dar un ejemplo inmediato de lo que ser\u00eda topolog\u00eda para un n\u00famero finito de elementos (y no \u00fanicamente 3; simplemente hay que cambiar el n\u00famero de elementos y copiar la construcci\u00f3n), funciona y es evidente demostrar que<\/p>\n

    $$ X = \\{ \\emptyset, \\{ a,b,c \\}, b \\} ,\u00a0X = \\{ \\emptyset, \\{ a \\}, \\{a,b \\},\\{ a,b,c \\} \\} \u00a0$$ son topolog\u00edas.<\/p>\n

    No todos los subconjuntos de X son necesariamente topolog\u00edas, como lo indica la siguiente figura:<\/p>\n

    \"\"<\/p>\n

    En el primer caso, la uni\u00f3n de a y b, no est\u00e1 en\u00a0\u03c4 \u00a0En el segundo caso, la intersecci\u00f3n de los elementos de \u03c4\u00a0\u00a0no est\u00e1 en\u00a0\u03c4.<\/p>\n

    A primera vista pareciera que una topolog\u00eda es casi lo mismo que un \u00e1lgebra o una \u03c3-\u00e1lgebra, pero la primera no pide ser cerrada bajo complementos.<\/p>\n

    M\u00e1s a\u00fan, la uni\u00f3n de elementos de cualquier subcolecci\u00f3n de una \u03c3-\u00e1lgebra no necesariamente est\u00e1 en la \u03c3-\u00e1lgebra, pues esta uni\u00f3n puede ser no numerable.<\/p>\n

    Es evidente entonces\u00a0 ver que\u00a0$$ X = \\{ \\emptyset, \\{ a,b,c \\}, b \\}$$\u00a0es topolog\u00eda, pero no \u03c3-\u00e1lgebra. Y lo mismo ocurre con $$X = \\{ \\emptyset, \\{ a \\}, \\{a,b \\},\\{ a,b,c \\} \\} . $$\u00a0Simplemente son conjuntos que no son cerrados bajo complementos.<\/p>\n

    Como una especificaci\u00f3n m\u00e1s detallada es que, pensando en $$ X = \\mathbb{R},$$\u00a0con sus intervalos abiertos como la topolog\u00eda usual, querr\u00edamos que las operaciones entre los conjuntos abiertos en\u00a0\u03c4 \u00a0fuera tambi\u00e9n un abierto, y n\u00f3tese que$$ \\bigcap_{n \\in \\mathbb{N}} \\Bigl( a\u00a0 – \\frac{1}{n}, b + \\frac {1}{n} \\Bigr) = [a,b].$$<\/p>\n

    Es decir, la intersecci\u00f3n numerable de abiertos en \u211c\u00a0no es necesariamente un abierto. Pero el tomar la intersecci\u00f3n finita de abiertos, eso siempre es un abierto (y se tiene que demostrar), y eso da m\u00e1s sentido a lo que pide la definici\u00f3n de ser topolog\u00eda. Tiene sentido tambi\u00e9n querer demostrar que la uni\u00f3n de abiertos en \u211c\u00a0es abierto.<\/p>\n

    La intersecci\u00f3n finita de abiertos en\u00a0\u211c<\/strong>, es un abierto:<\/strong><\/p>\n

    $$\\text{Dem.- Sean $O_1, O_2,…, O_n$\u00a0 abiertos en $\\mathbb{R}$ y $\u00a0 \u00a0x \\in \\bigcap_{n \\in \\mathbb{N}}O_i. $}$$<\/p>\n

    $$ \\text{Entonces $x \\in O_i, \\forall i \\in \\mathbb{N} .$} $$<\/p>\n

    $$\\text{Como $O_i$ es abierto, existe\u00a0 $B_{\\delta_i} \\subseteq O_i. $} $$<\/p>\n

    $$\\text{Sea\u00a0 $\\delta = min\\{ \\delta_1 , \\delta_2, …, \\delta_n \\}.$\u00a0 Entonces }$$<\/p>\n

    $$B_{\\delta}(x) \\subseteq\u00a0\\bigcap_{n \\in \\mathbb{N}}O_i.$$<\/p>\n

    La uni\u00f3n de abiertos en \u211c<\/strong>\u00a0es abierto:<\/strong><\/p>\n

    $$\\text{Dem.- Sean $O_1, O_2,…, O_n$\u00a0 abiertos en $\\mathbb{R}$ y }$$<\/p>\n

    $$\\text{ $\u00a0 \u00a0x \\in O_i $ para alguna $i\\in I.$}$$<\/p>\n

    $$\\text{Como $O_i$ es abierto, existe\u00a0 $B_{\\delta}(x) \\subseteq O_i\u00a0 \\subseteq \\bigcup_{i \\in I\u00a0}O_i. $} $$<\/p>\n

    $$\\text{De donde $\\bigcup_{i \\in I\u00a0}O_i $ es abierto.} $$<\/p>\n

    La intersecci\u00f3n numerable de intervalos abiertos en <\/strong>\u00a0\u211c es un intervalo cerrado.<\/strong><\/p>\n

    Dem.- Se quiere demostrar que\u00a0$$ \\bigcap_{n \\in \\mathbb{N}}\u00a0\\Bigl( a\u00a0 – \\frac{1}{n}, b + \\frac {1}{n}\u00a0\\Bigr) = [a,b].$$<\/p>\n

    $$\\text{Ya que para toda $n \\in \\mathbb{N}$ se cumple que\u00a0 }$$<\/p>\n

    $$ \u00a0a\u00a0 – \\frac{1}{n} < a < b <\u00a0\u00a0b + \\frac {1}{n} , $$<\/p>\n

    es directo que<\/p>\n

    $$[a,b] \\subseteq \\Bigl( a\u00a0 – \\frac{1}{n}, b + \\frac {1}{n}\u00a0\\Bigr) \\forall n \\in \\mathbb{N} .$$<\/p>\n

    O lo que es mismo,<\/p>\n

    $$[a,b] \\subseteq\u00a0\\bigcap_{n \\in \\mathbb{N}}\u00a0\\Bigl( a\u00a0 – \\frac{1}{n}, b + \\frac {1}{n}\u00a0\\Bigr). $$<\/p>\n

    Para ver la otra contenci\u00f3n, demostraremos que<\/p>\n

    $$ \\mathbb{R}\u00a0\\setminus [a,b] \\subseteq \\mathbb{R} \\setminus \\bigcap_{n \\in \\mathbb{N}}\u00a0\\Bigl( a\u00a0 – \\frac{1}{n}, b + \\frac {1}{n}\u00a0\\Bigr): $$<\/p>\n

    $$\\text{Sea $x\\in \\mathbb{R} \\setminus [a,b]$. Entonces $x<a$ o $b<x.$}$$<\/p>\n

    $$\\text{Si $x<a,$ entonces, para alguna $n \\in \\mathbb{N}$ },$$<\/p>\n

    $$ 0 < \\frac{1}{a-x} < n.$$<\/p>\n

    $$\\text{As\u00ed,\u00a0$ x < a – \\frac{1}{n},$ } $$<\/p>\n

    $$\\text{ de donde $ x \\notin\u00a0\\Bigl( a\u00a0 – \\frac{1}{n}, b + \\frac {1}{n}\u00a0\\Bigr) $ para tal $n$.\u00a0 }$$<\/p>\n

    $$\\text{Y si $b < x,$ se tiene que}$$<\/p>\n

    $$ 0 < \\frac{1}{x-b} < n. \\Rightarrow\u00a0b + \\frac {1}{n} < x. $$<\/p>\n

    As\u00ed, $$ x \\notin\u00a0\\Bigl( a\u00a0 – \\frac{1}{n}, b + \\frac {1}{n}\u00a0\\Bigr) .$$<\/p>\n

    Esto demuestra que<\/p>\n

    $$ x \\notin\u00a0\\bigcap_{n \\in \\mathbb{N}}\u00a0\\Bigl( a\u00a0 – \\frac{1}{n}, b + \\frac {1}{n}\u00a0\\Bigr).$$<\/p>\n

    Por lo anterior, $$\u00a0[a,b] \\supseteq\u00a0\\bigcap_{n \\in \\mathbb{N}}\u00a0\\Bigl( a\u00a0 – \\frac{1}{n}, b + \\frac {1}{n}\u00a0\\Bigr).\u00a0\u2666$$<\/p>\n

    Ya que la intersecci\u00f3n numerable de conjuntos abiertos de \u211c\u00a0es un conjunto cerrado, como justo se demostr\u00f3, esto tambi\u00e9n nos dice que cualquier \u03c3-\u00e1lgebra de subconjuntos de \u211c\u00a0que contiene a todos los intervalos abiertos de \u211c, tambi\u00e9n contiene a todos los intervalos cerrados (pues si la \u03c3-\u00e1lgebra contiene a todos los abiertos, en particular tiene a los de la forma $$ \\Bigl( a\u00a0 – \\frac{1}{n}, b + \\frac {1}{n} \\Bigr),$$\u00a0y por tanto, tambi\u00e9n est\u00e1n sus intersecciones numerables).<\/p>\n

    Y es an\u00e1logo ver que cualquier \u03c3-\u00e1lgebra de subconjuntos de \u211c\u00a0que contiene a todos los intervalos cerrados de \u211c, tambi\u00e9n contiene a todos los intervalos abiertos. Es decir,<\/p>\n

    $$ (a,b)\u00a0= \\bigcup_{n =1}^{\\infty} \\Bigl[ a\u00a0 + \\frac{1}{n}, b – \\frac {1}{n}\u00a0\\Bigr]. $$<\/p>\n

     <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Definici\u00f3n (Topolog\u00eda): Una topolog\u00eda\u00a0\u03c4 en un conjunto \u00a0es una colecci\u00f3n \u00a0de subconjuntos de \u03c4 que cumple las siguientes propiedades: \u00a0\u2205, X \u2208\u00a0\u03c4. La uni\u00f3n de elementos de cualquier subcolecci\u00f3n de\u00a0\u03c4 est\u00e1 en\u00a0\u03c4. La intersecci\u00f3n de elementos de cualquier subcolecci\u00f3n finita de\u00a0\u03c4 est\u00e1 en\u00a0\u03c4. A un conjunto X para el cual se ha especificado una topolog\u00eda\u00a0\u03c4\u00a0se<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_uag_custom_page_level_css":"","footnotes":""},"categories":[4],"tags":[39],"class_list":["post-566","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematicas","tag-topologia","no-featured-content"],"uagb_featured_image_src":{"full":false,"thumbnail":false,"medium":false,"medium_large":false,"large":false,"1536x1536":false,"2048x2048":false,"coup-single-post":false,"coup-archive-sticky":false,"coup-archive":false},"uagb_author_info":{"display_name":"Ofelia Negrete","author_link":"https:\/\/ofeliayorquesta.com\/blog\/author\/ofelia-negrete\/"},"uagb_comment_info":4,"uagb_excerpt":"Definici\u00f3n (Topolog\u00eda): Una topolog\u00eda\u00a0\u03c4 en un conjunto \u00a0es una colecci\u00f3n \u00a0de subconjuntos de \u03c4 que cumple las siguientes propiedades: \u00a0\u2205, X \u2208\u00a0\u03c4. La uni\u00f3n de elementos de cualquier subcolecci\u00f3n de\u00a0\u03c4 est\u00e1 en\u00a0\u03c4. La intersecci\u00f3n de elementos de cualquier subcolecci\u00f3n finita de\u00a0\u03c4 est\u00e1 en\u00a0\u03c4. A un conjunto X para el cual se ha especificado una topolog\u00eda\u00a0\u03c4\u00a0se","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/ofeliayorquesta.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/566","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/ofeliayorquesta.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/ofeliayorquesta.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/ofeliayorquesta.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/ofeliayorquesta.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=566"}],"version-history":[{"count":74,"href":"https:\/\/ofeliayorquesta.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/566\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":637,"href":"https:\/\/ofeliayorquesta.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/566\/revisions\/637"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/ofeliayorquesta.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=566"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/ofeliayorquesta.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=566"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/ofeliayorquesta.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=566"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}