{"id":716,"date":"2019-12-16T18:45:51","date_gmt":"2019-12-17T00:45:51","guid":{"rendered":"http:\/\/ofeliayorquesta.com\/blog\/?p=716"},"modified":"2021-05-14T14:59:59","modified_gmt":"2021-05-14T20:59:59","slug":"politopos-abstractos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/ofeliayorquesta.com\/blog\/2019\/12\/16\/politopos-abstractos\/","title":{"rendered":"Pol\u00edtopos Abstractos"},"content":{"rendered":"\n

Los objetos sim\u00e9tricos siempre han sido de inter\u00e9s.<\/span><\/p>\n\n\n\n

\u00bfPuedes dibujar todo s\u00f3lido plat\u00f3nico en $\\mathbb{R}^3$ con su centro en el origen y cuyos lados sean 1?<\/span><\/p>\n\n\n\n

\u00bfPuedes calcular su \u00e1rea y per\u00edmetro? <\/span><\/p>\n\n\n\n

Los s\u00f3lidos plat\u00f3nicos fueron estudiados por Teeteto (415-369 a.C) y Euclides los clasific\u00f3.<\/span><\/p>\n\n\n\n

Lo que le sigue en simetr\u00eda a los s\u00f3lidos plat\u00f3nicos son los s\u00f3lidos arquimedianos. A estos s\u00f3lidos se les llama transitivos por v\u00e9rtices. Est\u00e1n formados por pol\u00edgonos regulares.<\/span><\/p>\n\n\n\n

Luego, en la Edad Media aparecieron los pol\u00edgonos estrellados, que ya no son convexos (\u00bfpor qu\u00e9?).<\/span><\/p>\n\n\n\n

Kepler estudi\u00f3 los hept\u00e1gonos, para los que las longitudes de su lados correspondi\u00f3 a las soluciones positivas de la ecuaci\u00f3n $$\\lambda^6 – 7 \\lambda^4 + 14\\lambda^2 – 7 = 0 \\text{.}$$  <\/span><\/span><\/p>\n\n\n\n

Los pol\u00edgonos regulares son dif\u00edciles de construir con regla y comp\u00e1s, como los de 4, 5 y 6 lados. Una condici\u00f3n necesaria para construir un pol\u00edgono regular con regla y comp\u00e1s es que sea producto de una potencia de 2 y primos distintos de Fermat $$p = 2^{{2}^k} + 1 \\text{.}$$ <\/span><\/span><\/p>\n\n\n\n

Shl\u00e4fli estudi\u00f3 cosas que estuvieran en dimensiones m\u00e1s altas. Coexeter y Gr\u00fcnbaum tambi\u00e9n.<\/span><\/p>\n\n\n\n

Un pol\u00edtopo convexo es el casco convexo de un conjunto finito de puntos. <\/span><\/p>\n\n\n\n

\u201cUno agarra su espacio preferido, un n\u00famero finito de puntos en \u00e9l, y entonces empieza a construir lo que se llaman las combinaciones convexas, que son b\u00e1sicamente los segmentos entre los puntos. Consideras segmentos, hasta que yo tenga todo mi pol\u00edtopo lleno. Entonces, de estos cuatro puntos, su casco convexo es un tetraedro, o un 3-simplejo.\u201d<\/span><\/p>\n\n\n\n

Luego uno empieza a notar que estos objetos tienen ciertos elementos: v\u00e9rtices, aristas, caras.  <\/span>Y con esas ternas, uno empieza a considerar objetos que se llaman banderas. El estudio de los pol\u00edtopos abstractos se centra mucho en estos objetos, ya no tanto en el pol\u00edgono. <\/span><\/p>\n\n\n\n

Ejemplos de pol\u00edtopos convexos son: pol\u00edgonos, los s\u00f3lidos plat\u00f3nicos, los s\u00f3lidos arquimedianos, los poliedros convexos.<\/span><\/p>\n\n\n\n

\u201cYa regresando a los pol\u00edtopos convexos, uno empieza a estudiar cosas en t\u00e9rminos de banderas. Y para generar el concepto de pol\u00edtopo abstracto, nos fijamos en las relaciones de incidencia del pol\u00edtopo. Y con las relaciones de incidencia, uno puede hacer un orden parcial. Y esto es lo que se conoce como un diagrama de Hasse del orden parcial. Este orden parcial cumple ciertas propiedades, como la de ser fuertemente conexo (es decir, me puedo trasladar de cualquier elemento en el orden parcial, a cualquier otro elemento en el orden parcial).<\/span><\/p>\n\n\n\n

La definici\u00f3n de pol\u00edtopo a partir de un orden parcial, ampl\u00eda la definici\u00f3n de pol\u00edtopo, as\u00ed que aqu\u00ed ya se pueden considerar por ejemplo, los pol\u00edtopos convexos, los pol\u00edtopos estrellados (que no son convexos), las teselaciones.<\/span><\/p>\n\n\n\n

\u201cEn un pol\u00edtopo convexo se puede hablar de la dimensi\u00f3n de una cara, sin embargo, en un pol\u00edtopo abstracto que es de rango 3, este cabe perfectamente algo que es de dimensi\u00f3n 2. No hay necesidad de que yo me salga de un plano para representar algo que es de dimensi\u00f3n 3. Lo mismo pasa con los pol\u00edgonos.\u201d<\/span><\/p>\n\n\n\n

\u201cDe los pol\u00edtopos, nos interesan los que tienen simetr\u00eda.\u201d<\/span><\/p>\n\n\n\n

Yo agarro un pol\u00edtopo y me fijo en una de sus banderas. Intuitivamente, lo que significa que un pol\u00edtopo sea regular es que se vea igual por todos lados. Entonces, intuitivamente lo que va a pasar es que, con simetr\u00edas del objeto, yo me puedo mover de cualquier bandera a cualquier bandera. F(P) denota el conjunto de banderas del pol\u00edtopo. Aut(F) denota el conjunto de simetr\u00edas del pol\u00edtopo. Entonces las biyecciones del orden parcial que preserven la incidencia se van a llamar automorfismos del pol\u00edtopo, o simetr\u00edas. Entonces si yo puedo pasar mediante una simetr\u00eda de un orden parcial, de cualquier bandera a cualquier bandera, voy a decir que ese pol\u00edtopo es un pol\u00edtopo regular.<\/span><\/p>\n\n\n\n

El grupo de simetr\u00edas de un pol\u00edtopo regular cumple propiedades destacables que caracterizan al grupo de automorfismos de un pol\u00edtopo regular. Si yo agarro una bandera, entonces, en ese grupo, como yo puedo pasar de cualquier bandera a cualquier bandera, en particular yo puedo pasar de una bandera fija, a sus banderas adyacentes.<\/span><\/p>\n\n\n\n

(Aqu\u00ed un dibujo)<\/p>\n\n\n\n

\u201cEstas son las 3 reflexiones que van a mandar esta bandera a sus banderas adyacentes. Estas reflexiones abstractas, generan el grupo de simetr\u00edas del pol\u00edtopo.\u201d<\/span><\/p>\n\n\n\n

Referencia:  “Pol\u00edtopos Abstractos o de c\u00f3mo aprend\u00ed a dejar de preocuparme… (Jos\u00e9 Collins Castro)” en Aquelarre Matem\u00e1tico 2013. https:\/\/youtu.be\/dnH1N8fHo0E<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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