Los objetos simétricos siempre han sido de interés.
¿Puedes dibujar todo sólido platónico en $\mathbb{R}^3$ con su centro en el origen y cuyos lados sean 1?
¿Puedes calcular su área y perímetro?
Los sólidos platónicos fueron estudiados por Teeteto (415-369 a.C) y Euclides los clasificó.
Lo que le sigue en simetría a los sólidos platónicos son los sólidos arquimedianos. A estos sólidos se les llama transitivos por vértices. Están formados por polígonos regulares.
Luego, en la Edad Media aparecieron los polígonos estrellados, que ya no son convexos (¿por qué?).
Kepler estudió los heptágonos, para los que las longitudes de su lados correspondió a las soluciones positivas de la ecuación $$\lambda^6 – 7 \lambda^4 + 14\lambda^2 – 7 = 0 \text{.}$$
Los polígonos regulares son difíciles de construir con regla y compás, como los de 4, 5 y 6 lados. Una condición necesaria para construir un polígono regular con regla y compás es que sea producto de una potencia de 2 y primos distintos de Fermat $$p = 2^{{2}^k} + 1 \text{.}$$
Shläfli estudió cosas que estuvieran en dimensiones más altas. Coexeter y Grünbaum también.
Un polítopo convexo es el casco convexo de un conjunto finito de puntos.
“Uno agarra su espacio preferido, un número finito de puntos en él, y entonces empieza a construir lo que se llaman las combinaciones convexas, que son básicamente los segmentos entre los puntos. Consideras segmentos, hasta que yo tenga todo mi polítopo lleno. Entonces, de estos cuatro puntos, su casco convexo es un tetraedro, o un 3-simplejo.”
Luego uno empieza a notar que estos objetos tienen ciertos elementos: vértices, aristas, caras. Y con esas ternas, uno empieza a considerar objetos que se llaman banderas. El estudio de los polítopos abstractos se centra mucho en estos objetos, ya no tanto en el polígono.
Ejemplos de polítopos convexos son: polígonos, los sólidos platónicos, los sólidos arquimedianos, los poliedros convexos.
“Ya regresando a los polítopos convexos, uno empieza a estudiar cosas en términos de banderas. Y para generar el concepto de polítopo abstracto, nos fijamos en las relaciones de incidencia del polítopo. Y con las relaciones de incidencia, uno puede hacer un orden parcial. Y esto es lo que se conoce como un diagrama de Hasse del orden parcial. Este orden parcial cumple ciertas propiedades, como la de ser fuertemente conexo (es decir, me puedo trasladar de cualquier elemento en el orden parcial, a cualquier otro elemento en el orden parcial).
La definición de polítopo a partir de un orden parcial, amplía la definición de polítopo, así que aquí ya se pueden considerar por ejemplo, los polítopos convexos, los polítopos estrellados (que no son convexos), las teselaciones.
“En un polítopo convexo se puede hablar de la dimensión de una cara, sin embargo, en un polítopo abstracto que es de rango 3, este cabe perfectamente algo que es de dimensión 2. No hay necesidad de que yo me salga de un plano para representar algo que es de dimensión 3. Lo mismo pasa con los polígonos.”
“De los polítopos, nos interesan los que tienen simetría.”
Yo agarro un polítopo y me fijo en una de sus banderas. Intuitivamente, lo que significa que un polítopo sea regular es que se vea igual por todos lados. Entonces, intuitivamente lo que va a pasar es que, con simetrías del objeto, yo me puedo mover de cualquier bandera a cualquier bandera. F(P) denota el conjunto de banderas del polítopo. Aut(F) denota el conjunto de simetrías del polítopo. Entonces las biyecciones del orden parcial que preserven la incidencia se van a llamar automorfismos del polítopo, o simetrías. Entonces si yo puedo pasar mediante una simetría de un orden parcial, de cualquier bandera a cualquier bandera, voy a decir que ese polítopo es un polítopo regular.
El grupo de simetrías de un polítopo regular cumple propiedades destacables que caracterizan al grupo de automorfismos de un polítopo regular. Si yo agarro una bandera, entonces, en ese grupo, como yo puedo pasar de cualquier bandera a cualquier bandera, en particular yo puedo pasar de una bandera fija, a sus banderas adyacentes.
(Aquí un dibujo)
“Estas son las 3 reflexiones que van a mandar esta bandera a sus banderas adyacentes. Estas reflexiones abstractas, generan el grupo de simetrías del polítopo.”
Referencia: “Polítopos Abstractos o de cómo aprendí a dejar de preocuparme… (José Collins Castro)” en Aquelarre Matemático 2013. https://youtu.be/dnH1N8fHo0E