Introducción
En esta entrada de blog demostraremos algunas propiedades del producto en $\mathbb{Z}$.
Recordemos algunas de ellas. El producto en $\mathbb{Z}$:
- Está bien definido.
- Es conmutativo.
- Es asociativo.
- Tiene neutro.
- Los únicos elementos que tienen inverso multiplicativo son 1 y -1.
- El producto se distribuye sobre la suma.
- Se pueden cancelar factores distintos de cero.
- Producto de positivos es positivo.
- La multiplicación por un positivo respeta el orden.
- La multiplicación por un negativo (es decir, el inverso aditivo de un positivo) invierte el orden.
Algunas de estas propiedades, como la conmutatividad, asociatividad, existencia del neutro y distributividad, son aquéllas que determinan (junto con las propiedades de la suma) que $(\mathbb{Z}, \widehat+, \star)$ sea un anillo conmutativo con unitario. El resto, son propiedades adicionales, pero también relevantes, por lo que sería bueno demostrarlas.
Demostración de las propiedades del producto en $\mathbb{Z}$
El producto en $\mathbb{Z}$ está bien definido. Ya se resolvió este inciso cuando se definió el producto en $\mathbb{Z}$.
El producto en $\mathbb{Z}$ es conmutativo.
Queremos ver que $r\star s = s \star r \quad \forall \enspace r, s \in \mathbb{Z}$. Sean $r = [(a,b)]$ y $s= [(c,d)]$.
\begin{alignat*}{2} [(a,b)] \star [(c,d)] &= [(ac + bd, ad + bc)] \qquad &&\text{(definición de producto en $\mathbb{Z}$)} \\ &= [(ca + db, cb + da)] \qquad &&\text{(conmutatividad en $\mathbb{N}$)}\\ &= [(c,d)]\star [(a,b)]. \qquad &&\text{(definición de producto en $\mathbb{Z}$)} \end{alignat*}
$\square$
El producto en $\mathbb{Z}$ es asociativo.
Queremos ver que $(r\star s) \star t = r \star (s \star t) \quad \forall \enspace r,s,t \in \mathbb{Z}$. Sean $r = [(a,b)]$, $s= [(c,d)]$ y $t = [(e,f)]$. Usando la definición de producto en $\mathbb{Z}$, y ley distributiva en $\mathbb{N}$ obtenemos lo que queremos:
\begin{align*} (r\star s) \star t &= [(ac + bd, ad + bc)] \star [(e,f)] \\ &=[((ac + bd)e + (ad + bc)f, (ac + bd)f + (ad + bc)e)] \\ &= [(ace + bde + adf + bcf, acf + bdf + ade + bce)] \\ &= [(b (cf + de) + a (ce + df), a (cf + de) + b (ce + df) )] \\ &= [(a,b)] \star [(ce + df, cf + de)] = r \star (s \star t). \end{align*}
$\square$
El producto en $\mathbb{Z}$ tiene neutro multiplicativo.
Queremos ver que existe un elemento tal que $r\star \alpha = r \quad \forall \enspace r\in \mathbb{Z}$. Notamos que $\alpha = [(1,0)]:$
\begin{align*} [(a,b)] &= [(a\cdot 1 + b\cdot 0, a \cdot 0 + b \cdot 1)] \\ &= [(a,b)]\star [(1,0)]. \end{align*}
$\square$
Los únicos elementos que tienen inverso multiplicativo son 1 y -1.
Antes de comenzar esta demostración valdría la pena ver que en efecto, 1 y -1 tienen inverso multiplicativo:
\begin{align*} 1 \star 1 = [(1,0)] \star [(1,0)] &= [(1\cdot 1 + 0 \cdot 0, 1\cdot 0 + 0 \cdot 1)] \\ &= [(1,0)] = 1. \end{align*}
De este modo, 1 es su propio inverso multiplicativo. Análogamente, el -1 es su propio inverso multiplicativo:
\begin{align*} (-1) \star (-1) = [(0,1)] \star [(0,1)] &= [(0 \cdot 0 + 1\cdot 1, 0\cdot 1 + 1 \cdot 0 )] \\ &= [(1,0)] = 1. \end{align*}
Ahora sí, veamos que, si $[(a,b)]$ fuera un entero con inverso multiplicativo $[(c,d)]$, necesariamente obtendremos $[(a,b)] = [(c,d)] = 1$, o $[(a,b)] = [(c,d)] = -1$:
\begin{alignat*}{2} &[(a,b)] \star [(c,d)] &&= [(1,0)]\ \\ \Longrightarrow \quad &[(ac + bd, ad + bc)] &&= [(1,0)] \ \\ \Longrightarrow \quad &\begin{cases} ac + bd =1 \\ ad + bc = 0. \end{cases} \end{alignat*}
De que $ac + bd = 1$, tenemos que $ac = 1 – bd$. Como $ac \in \mathbb{N}$, entonces $bd \in \{0,1\}$, pues sólo así, $1 – bd \in \mathbb{N}$. De esto emergen dos casos:
a) $\Big( bd = 1 \enspace \land \enspace ac = 0 \Big)$, de donde se obtiene que $bd = 1 \enspace \Longrightarrow \enspace b = 1$, $d =1$. Y $ac = 0 \enspace \Longrightarrow \enspace a = 0 \quad$ ó $\quad c = 0$.
Ya que $b = d = 1$, sustituyendo en $ad + bc = 0$ tenemos que $a\cdot 1 + 1 \cdot c = a + c = 0$. Y como $a= 0$ ó $c= 0$, entonces $0 + c = 0$ ó $a + 0 = 0$. Conclusión, $a= c = 0$. Así, para este inciso, $[(a, b)] = [(c,d)] = [(0, 1)] = -1$.
b) $ \Big( bd = 0 \enspace \land \enspace ac = 1 \Big)$, de donde se obtiene que $bd = 0 \enspace \Longrightarrow \enspace b = 0$ ó $d =0$. Y $ac = 1 \enspace \Longrightarrow \enspace a = 1$, $c = 1$.
Ya que $a = c = 1$, sustituyendo en $ad + bc = 0$ tenemos que $1\cdot d + b \cdot 1 = d + b = 0$. Y como $b= 0$ ó $d= 0$, entonces $d + 0 = 0$ ó $0 + b = 0$. Conclusión, $d= b = 0$. Así, para este inciso, $[(a, b)] = [(c,d)] = [(1, 0)] = 1$.
$\square$
El producto se distribuye sobre la suma.
Aquí hay que notar que existen dos leyes distributivas.
Demostremos que $r\star (s + t) = (r\star s) \enspace \widehat+ \enspace (r\star t) \quad \forall \enspace r,s, t \in \mathbb{Z}$. Sean $r = [(a,b)]$, $s = [(c,d)]$, $t = [(e,f)]$ enteros cualquiera. Entonces, usando la definición de producto en $\mathbb{Z}$, distributividad y asociatividad en $\mathbb{N}$ y la definición de suma en $\mathbb{Z}$ tenemos que:
\begin{align*} r \star (s\enspace \widehat+ \enspace t) &= [(a,b)]\star [(c+e, d+f)] \\ &= [(a (c + e) + b (d + f), a (d + f) + b (c + e))] \\ &= [(ac + ae + bd + bf, ad + af + bc + be)] \\ &= [((ac + bd) + (ae + bf), (ad + bc) + (af + be))] \\ &= [(ac + bd, ad + bc)] \enspace \widehat+ \enspace [(ae + bf, af + be)] \\ &= (r\star s) \enspace \widehat+ \enspace (r\star t). \end{align*}
$\square$
Ya que la demostración de la otra ley distributiva es análoga, se deja como tarea moral.
Se pueden cancelar factores distintos de cero.
Probaremos que $\Big( r \star s = r \star t \Big) \Longrightarrow s = t \quad \forall \enspace r, s, t \in \mathbb{Z}$. Sean $r = [(a,b)]$, $s= [(c,d)]$ y $t= [(e,f)]$.
Tenemos que:
\begin{alignat*}{2} & [(a,b)] \star [(c,d)] &&= [(a,b)] \star [(e,f)] \\ \Longrightarrow \quad & [(ac + bd, ad + bc)] &&= [(ae + bf, af + be)] \\ \Longrightarrow \quad & (ac + bd) + (af + be) &&= (ad + bc) + (ae + bf) \\ \Longrightarrow \quad & a(c + f) + b(d +e) &&= a(d+e) + b(c + f) \end{alignat*}
Supongamos que $a \neq b$. Entonces $a (c + f) – b (c + f) \in \mathbb{N}$ y $a (d +e) – b (d + e) \in \mathbb{N}$. Así,
\begin{alignat*}{2} & a(c + f) + b(d +e) &&= a(d+e) + b(c + f) \\ \Longrightarrow \quad & a(c + f) – b (c + f) &&= a(d +e) – b(d +e) \\ \Longrightarrow \quad & (a – b)(c +f) &&= (a – b)(d +e) \\ \Longrightarrow \quad & c + f &&= d + e \end{alignat*}
De lo último se concluye que $(c,d) \sim (e,f)$. Es decir, $[(c,d)] = [(e,f)]$, que es lo que queríamos.
$\square$
Producto de positivos es positivo.
Sean $r = [(a,b)]$ y $s = [(c,d)]$, con $r,s \in \mathbb{Z}^+$. Queremos ver que $r \star s \in \mathbb{Z}^+$.
Ya que $r = [(a,b)] \in \mathbb{Z}^+$, entonces $a > b$, de la definición de entero positivo. Asímismo, como $s = [(c,d)] \in \mathbb{Z}^+$, tenemos que $c > d$.
De este modo, $a > b$ y $c – d > 0$. Por lo tanto,
$a(c-d) > b(c-d)$. Así, haciendo multiplicaciones y reagrupando, $ac + bd – (ad + bc) > 0$. Lo que implica $ac + bd > ad + bc$. De lo que finalmente se concluye que $[(ac + bd, ad + bc)] = [(a,b)] \star [(c,d)] \in \mathbb{Z}^+$.
$\square$
La multiplicación por un positivo respeta el orden. Este inciso se deja de tarea.
La multiplicación por un negativo invierte el orden. Este inciso también queda como ejercicio al lector.
Entradas relacionadas
- Entrada anterior del curso: <<Producto y orden en $\mathbb{Z}$>>
- Entrada siguiente del curso: <<Inmersión de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{Z}$>>