Introducción
Se suele pensar al conjunto de los números enteros como aquél que está conformado por números positivos, números negativos y el cero: $$\mathbb{Z} = \{ \ldots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \} \text{,}$$ donde, observamos, $\mathbb{Z} = \{\ldots -3, -2, -1 \}\cup \mathbb{N}$.
En esta sección demostraremos que, en efecto, como existe una función inyectiva
\begin{align*} \gamma : \mathbb{N} &\longrightarrow \mathbb{Z} \\ \text{tal que} \qquad n &\mapsto [(n, 0)], \end{align*}
entre los naturales y las clases $[(n,0)] \in \mathbb{Z}$, podemos considerar que los naturales son subconjunto de los enteros. Más aún, las propiedades de suma y producto de naturales se respetan bajo la función, el neutro aditivo también es enviado al neutro aditivo, el neutro multiplicativo es enviado al neutro multiplicativo, y asimismo se respeta el orden ($n < m$ implica que $[(n, 0)] <^* [(m,0)]$). Más aún, se puede pensar que los números negativos en $\mathbb{Z}$, $\{\ldots , -2, -1\}$ son otra copia de $\mathbb{N}\backslash \{0\}$ que también está metida en $\mathbb{Z}$, pues hay tantos “naturales” positivos en $\mathbb{Z}$, como enteros negativos en $\mathbb{Z}$.
En esta entrada de blog demostramos estas cosas.
Inmersión de los naturales en los enteros
Lema 1. $\gamma (n) = [(n,0)]$ es inyectiva.
Dem.- Sea $[(n,0)] = [(m,0)]$. Entonces $(n,0) \sim (m,0)$, por lo que $n + 0 = m + 0$. Como $0$ es neutro aditivo en $\mathbb{N}$, entonces $n = m$.
$\square$
¿Será $\gamma (n) = [(n,0)]$ suprayectiva?
No lo es. Para que sí lo fuera, tendría que ocurrir que $\gamma (n) = \mathbb{Z}$ (usando la definición de función suprayectiva). Sin embargo, $\gamma(n)$ está contenida propiamente en $\mathbb{Z}$. Es decir, hay enteros diferentes de $[(n,0)]$, a saber, aquéllos en donde $[(a,b)] \in \mathbb{Z}$ y $b \neq 0$.
Aunque si modificáramos al codominio de $\gamma$ por $ \mathbb{Z}\restriction_{[(n,0)]}$, es decir, $\mathbb{Z}$ restringido a los enteros de la forma $[(n,0)]$, entonces la función sí sería biyectiva, pues siempre podríamos elegir cualquier $[(n,0)] \in \mathbb{Z} \restriction_{[(n,0)]}$ y decir que su preimagen es $n$.
Pero regresando a la función original, ahora veamos que, la suma y producto de dos números naturales se respetan en los enteros.
Lema 2. $\gamma (n + m) = \gamma(n)\enspace \widehat+ \enspace \gamma (m) \qquad \forall \enspace n,m \in \mathbb{N} .$
Dem.- $\gamma (n + m) = [(n + m, 0)]$. Luego, $$ \quad \enspace [(n + m, 0)] = [(n + m, 0 + 0)] = [(n, 0)] \enspace \widehat+ \enspace [(m, 0)] \text{.}$$
$\square$
Lema 3. $\gamma (n \cdot m) = \gamma(n) \star \gamma (m) \qquad \forall \enspace n,m \in \mathbb{N}.$
Dem.- $\gamma(n\cdot m) = [(n\cdot m, 0)] = [(n\cdot m + 0\cdot 0, m\cdot 0 + 0\cdot n)] = [(n, 0)]\star [(m, 0)] = \gamma(n) \star \gamma(m).$
$\square$
Ahora veamos que el neutro aditivo en $\mathbb{N}$ va al neutro aditivo en $\mathbb{Z}$ y el neutro multiplicativo en $\mathbb{N}$ también va al correspondiente neutro multiplicativo en $\mathbb{Z}$.
Lema 4. $\gamma(0) = [(0,0)]$.
Dem.- Se sigue directamente de la definición de $\gamma$.
$\square$
Lema 5. $\gamma(1) = [(1,0)]$.
Dem.- Se sigue directamente de la definición de $\gamma$.
$\square$
Ahora veamos que el orden de los naturales se respeta en $\mathbb{Z}$.
Lema 6. $n < m$ si y sólo si $\gamma(n) <^* \gamma(m) \qquad \forall \enspace n, m \in \mathbb{N}$.
Dem.- $$n < m \iff [(m, 0)] \enspace \widehat+ \enspace [(0,n)] \in \mathbb{Z}^+ \text{,}$$
de la definición de número positivo en $\mathbb{Z}$ y expandiendo el término en una suma. Esto equivale a decir que
$$n < m \iff [(m, 0)] \enspace \widehat+ \enspace (-[(n,0)]) \in \mathbb{Z}^+ \text{.}$$
Finalmente, de la definición de orden en los enteros,
$$ n < m \iff [(n, 0)] <^* [(m,0)] \text{,}$$
que es lo que se quería.
$\square $
Los 6 lemas que acabamos de ver, bien pueden conformar un teorema, donde cada uno de los lemas fuera un inciso:
Teorema (Inmersión de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{Z}$). Existe una función inyectiva
\begin{align*} \gamma : \mathbb{N} &\longrightarrow \mathbb{Z} \\ \text{tal que} \qquad n &\mapsto [(n, 0)], \end{align*}
de los números naturales en los enteros, que respeta la suma, el producto, el neutro aditivo, el neutro multiplicativo, al igual que respeta el orden.
Dem.- Ya se hizo la demostración.
$\square $
La siguiente proposición es importante pues tiene como consecuencia que hay metidas dos copias de números naturales en $\mathbb{Z}$ (sin contar el cero).
Proposición. Para cualquier $[(a,b)] \in \mathbb{Z}$ existe $n \in \mathbb{N}$ tal que
- $[(n,0)] \in [(a,b)]$, o
- $[(0, n)] \in [(a,b)]$.
Dem.- Sea $[(a, b)] \in \mathbb{Z}$.
Caso 1) Si $a = 0 = b$, entonces elegimos $n = 0$, y, trivialmente, $[(0, 0)] \in [(0,0)]$.
Caso 3) Sea $a > b$. De la definición de orden en $\mathbb{N}$, existe $k \in \mathbb{N} $ tal que $a = b + k$.
Queremos que $[(n, 0)] \sim [(a,b)]$. Se debe cumplir pues, que $n + b = 0 + a = a$. Así, elijamos $n = k$. De este modo, $[(n, 0)] = [(a, b)]$. En particular, $[(n,0)] \in [(a,b)]$.
Caso 4) Sea $b > a$. De la definición de orden en $\mathbb{N}$, existe $k \in \mathbb{N} $ tal que $b = a + k$.
Queremos que $[(0, n)] \sim [(a,b)]$. Se debe cumplir pues, que $0 + b = n + a$. Escogemos $n = k$. De este modo, $[(0, n)] = [(a, b)]$. En particular, $[(0,n)] \in [(a,b)]$.
$\square $
La proposición anterior es una manera de ilustrar en particular, que hay el mismo número de números naturales positivos como números enteros negativos (caso 4 de nuestra prueba), pues a cada entero $[(a,b)] \in \mathbb{Z}^-$ (es decir, a todo entero negativo) le podemos asociar una ecuación de la forma $b = a + k $, donde, eligiendo $k = n$, con $k \in \mathbb{N}$, también ello significa asociarle un número natural $n$ a cada entero en $\mathbb{Z}^-$. Esto es una biyección, pues si tomamos que el dominio de tal función sea $\mathbb{Z}^-$, la $k$ barre todos los naturales. Y podemos pensarlo también de manera inversa; es decir, eligiendo como dominio $\mathbb{N}$, contradominio $\mathbb{Z}^-$ y a $b = a + k$ como regla de correspondencia. Ya sabemos que todos los enteros en $\mathbb{Z}^-$ son todos de esta forma. Es decir, la función es inyectiva y suprayectiva.
Este hecho no se debe interpretar como que “la cardinalidad de $\mathbb{Z}$ es distinta de la cardinalidad de $\mathbb{N}$.” Por el contrario, $|\mathbb{Z}| = |\mathbb{N}|$.
Ejercicios
- Demostrar que existe el mismo número de naturales que de enteros.
- Da una biyección que muestre que el conjunto de los enteros positivos pares, $\{2, 4, 6, \ldots\}$ y el conjunto de los enteros, $\{ \ldots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots \}$ tienen la misma cardinalidad.
Entradas relacionadas
- Entrada anterior del curso: <<Propiedades del producto en $\mathbb{Z}$>>
- Entrada siguiente del curso: <<Algoritmo de la división>>