Introducción
En esta entrada primero veremos qué significa que un entero $a$ divida a otro entero $b.$
Luego nos servirá recordar lo que es un ideal en $\mathbb{Z}$ para definir al “generado de $m$ y $n$,” como sigue: $$\langle {m,n} \rangle = \{nz_1 + mz_2 : z_1, z_2 \in \mathbb{Z} \}.$$
A partir de lo cual definiremos al máximo común divisor de dos enteros $m$ y $n$ como aquél $d \geq 0$, $d\in \mathbb{Z}$, tal que $$d\mathbb{Z} = m\mathbb{Z} + n\mathbb{Z},$$ y que observaremos, $d\mathbb{Z}$ y $\langle {m,n} \rangle$ son el mismo conjunto.
En particular si $d = 1$, tendremos $\mathbb{Z} = m\mathbb{Z} + n\mathbb{Z}$. Cuando esto ocurre decimos que $m$ y $n$ son primos relativos.
Finalmente demostraremos algunos teoremas que hagan uso de estos cuatro nuevos conceptos.
Divisibilidad e ideales en $\mathbb{Z}$
Definición ($a$ divide a $b$). Definimos la relación “divide a” en $\mathbb{Z}$ así: $$a \mid b \text{ si y sólo si } \exists x\in \mathbb{Z} \text{ tal que } ax = b.$$
Que es a equivalente decir: “$a$ divide a $b$ si y sólo si $b\in a\mathbb{Z}$,” o que “$b$ es múltiplo de $a.$”
Definición (Resta en $\mathbb{Z}$). En el conjunto de los enteros, restar dos números $w$ y $z$ se define de la siguiente manera:
$$w \enspace – \enspace z = w + (-z).$$
La resta en $\mathbb{Z}$ no es conmutativa, pues eligiendo $z$ un entero y $-z$ su inverso, obtenemos que $$z \enspace – \enspace (-z) = z +[- (-z) ] = z + z = 2z \neq -z \enspace – \enspace z = -z + (-z) = – 2z.$$
Tampoco es asociativa, pues eligiendo $x = -z$, $y = z$, $w = -z$ números enteros, se tendrá que $$x-(y-w) = -3z \neq -z = (x-y)-w.$$
Un conjunto $S$ es cerrado bajo la resta si al tomar dos elementos en $S$ y restarlos, el resultado también está en $S$. En particular para $S = \mathbb{Z}$ sucederá que la única condición necesaria para que ciertos subconjuntos de $\mathbb{Z}$ sean ideales será pedirles que sean cerrados bajo la resta.
Demostremos entonces que:
Proposición 1. Si un subconjunto de $\mathbb{Z}$ cerrado bajo la resta tiene algún elemento distinto de $0$, entonces también tiene un elemento positivo.
Dem.- Sea $S\subseteq \mathbb{Z}$ un subconjunto distinto del vacío y cerrado bajo la resta. Tomemos $z \in S$. Ya que $S$ es un entero cerrado bajo la resta, $z \enspace – \enspace z = z + (-z) = 0$. Por lo que $0 \in S$. Y como $0$ y $z$ están en $S$ que es cerrado bajo la resta, $0 \enspace -\enspace z = 0 + (-z) = -z.$ Es decir, el inverso de $z$ también está en $S$ y necesariamente alguno de ellos, $z$ o $-z$ será positivo.
$\square$
Proposición 2. Si un subconjunto $S$ de $\mathbb{Z}$ es cerrado bajo la resta, entonces $S$ es cerrado bajo la suma.
Dem.- Si $S = \emptyset$, decir que $S \subseteq \mathbb{Z}$ es cerrado bajo la resta es una proposición falsa, pues no existen elementos en $S$, y de una hipótesis falsa podemos concluir lo que queramos; en particular, que $S$ es cerrado bajo la suma.
Si, $S \neq \emptyset$, de la proposición anterior sabemos que $S$ tiene al menos dos elementos $z_1$ y $z_2$. Y sólo es cuestión de expresar la suma de ellos como una resta:
$$z_1 + z_2′ = z_1 + (-z_2),$$ lo cual es posible porque, también de la proposición anterior se tiene que $-z_2 \in S.$
$\square$
Proposición 3. Si un subconjunto $S$ de $\mathbb{Z}$ es cerrado bajo la resta, entonces cuando $x\in S$, todo múltiplo de $x$ también está en $S$. Es decir, que $$x \in S \enspace \Longrightarrow \enspace \mathbb{Z}x \subseteq S.$$
Dem.- Sea $S$ un subconjunto de $\mathbb{Z}$ distinto del vacío y cerrado bajo la resta. Primero veremos que los múltiplos positivos de $x$ pertenecen a $S$ y lo haremos por inducción.
Sea $x \in S$. Por la proposición anterior, $0 \in S$ y esto es la base de inducción.
Supongamos que el enunciado se cumple para $nx$, es decir, asumamos $nx\in S$. Tenemos entonces que $(n +1)x = nx + x$ está en $S$, pues $x \in S$ y un subconjunto cerrado bajo la resta es cerrado bajo la suma. Concluimos que todo $nx \in S$ si $n \geq 0.$
Pero para cada $nx \in S$, su inverso aditivo también está en $S$. Lo que termina de demostrar el resultado.
$\square$
Definición (Ideal en $\mathbb{Z}$). Un subconjunto $I$ de $\mathbb{Z}$ no vacío y cerrado bajo la resta se llama un ideal de $\mathbb{Z}$.
La definición de ideal en $\mathbb{Z}$ que acabamos de dar es exclusiva para el conjunto de los enteros, pues de la entrada de blog anterior sabemos que en general, para que un conjunto $I$ sea ideal se requiere que $I$ sea subanillo de un anillo $A$, también que $I$ sea subgrupo de $A$ con la operación suma y que se absorba la multiplicación; es decir, para cualquier $a \in A$ e $i \in I$ se tendrá que $aI \in I$.
Esta definición simplificada de ideal en los enteros es interesante porque nos hace dar cuenta de que sólo hay que pedir que $I$ subconjunto de $\mathbb{Z}$ sea cerrado bajo la resta y de ello se implican los requerimientos para la definición de ideal en general. Muestra tú mismx este hecho.
También intenta demostrar lo siguiente:
Proposición 4. Si un subconjunto $S \neq \emptyset$ de $\mathbb{Z}$ es cerrado bajo la resta, entonces existe $n \in \mathbb{N}$ tal que $S = n\mathbb{Z}$.
La proposición anterior equivale a decir que todos los ideales de $\mathbb{Z}$ son de la forma $n\mathbb{Z}$, cosa que ya habíamos mostrado anteriormente; claro que en aquél caso explícitamente usamos la definición de ideal y el hecho de que todos los subgrupos de $\mathbb{Z}$ son de la forma $n\mathbb{Z}$. Aquí no sería necesaria la teoría algebraica adicional.
Subconjuntos de $\mathbb{Z}$ que no son de la forma $n\mathbb{Z}$ no serían ideales. Es lo que nos dice también la proposición.
Ejemplo. ${1}$ es subconjunto de $\mathbb{Z}$ pero su inverso aditivo no está en el conjunto.
Ejemplo. $\mathbb{N}$ es subconjunto de $\mathbb{Z}$ pero no es cerrado bajo la resta.
Teorema 1. Si $\{S_i\}_{i\in \mathbb{N}}$ es una familia de subconjuntos no vacíos de $\mathbb{Z}$ cerrados bajo la resta, entonces $\bigcap \{S_i\}_{i\in \mathbb{N}}$ también es un subconjunto no vacío cerrado bajo la resta.
Dem.- Tenemos que $0 \in S_i$ para toda $i \in \mathbb{N}$, por la proposición 1. Así, $0 \in \bigcap S_i$.
Análogamente, si $m,n \in \bigcap S_i$, entonces, como cada $S_i$ es cerrado bajo la resta, $m-n \in S_i$ $\forall i \in \mathbb{N}$. Como $m-n$ está en todos los $S_i$, entonces $m-n \in \bigcap S_i$.
Del teorema 1 se concluye que para cada subconjunto $S$ de $\mathbb{Z}$ cerrado bajo la resta, existe un conjunto que lo contiene, con la propiedad de ser mínimo. Podría ser él mismo o no. Este hecho se denota $$ \langle S \rangle = \bigcap\{Y : S\subseteq Y, \enspace Y\neq \emptyset, \enspace \text{y $Y$ es cerrado bajo la resta} \}. $$
Asimismo, no todo subconjunto de $\mathbb{Z}$ es cerrado bajo la resta, pero está contenido en uno que sí lo es. Por ejemplo, ${1} \subset \langle 1 \rangle = 1 \cdot \mathbb{Z}$. Y $\mathbb{N} \subset \langle \mathbb{N} \rangle = \mathbb{Z}$. También,
- $\langle \emptyset \rangle = {0} = 0\cdot \mathbb{Z}$.
- $\langle {21, 14} \rangle = 7\mathbb{Z}$.
Del último ejemplo vemos que, aunque $\mathbb{Z}$ es un conjunto cerrado bajo la resta que contiene a $\langle {21, 14} \rangle $, no es el mínimo que lo contiene.
Además, se puede demostrar más rigurosamente que $\langle {21, 14} \rangle = 7\mathbb{Z}$ por doble contención de conjuntos:
Por un lado, $21 = 7\cdot 3$ y $14 = 7\cdot 2$, por lo que $21\in 7\mathbb{Z}$ y $14 \in 7\mathbb{Z}$. Ya que $7\mathbb{Z}$ es cerrado bajo la resta, entonces $\langle {21, 14} \rangle \subseteq 7\mathbb{Z}$, usando el teorema 1. Por otro lado, $7 \in 7\mathbb{Z}$ y $7 = 21 \enspace – \enspace 14$. Así, $7z = 21z \enspace – \enspace 14z$. Como a todo $7z \in 7\mathbb{Z}$ lo podemos escribir como una combinación lineal de $21$ y $14$, se concluye que $7z \in \langle {21, 14} \rangle $. Lo que significa que $7\mathbb{Z} \subseteq \langle {21, 14} \rangle$.
En general, demostraremos por doble contención de conjuntos, que $$\langle {m,n} \rangle = \{mz_1 + nz_2 : z_1, z_2 \in \mathbb{Z} \}.$$
Dem.- Sea $S = \{m,n\}.$
Para ver que $\langle {m,n} \rangle \subseteq \{mz_1 + nz_2 : z_1, z_2 \in \mathbb{Z} \},$ notemos que el lado derecho es un conjunto cerrado bajo la resta, pues podemos reescribir $mz_1 + nz_2$ como $mz_1 \enspace – \enspace n(-z_2)$. Además, $ \{mz_1 + nz_2 : z_1, z_2 \in \mathbb{Z} \}$ contiene a $m$ y $n$, pues $m = m\cdot 1 + n\cdot 0$ y $n = m\cdot 0 + n\cdot 1.$ Y con esto también garantizamos que el conjunto es distinto del vacío. De la definición de $\langle S \rangle $, todos las colecciones que tengan estas características contienen a $\langle S \rangle $.
Asímismo, todo $m\cdot z_1 + n \cdot z_2 \in $ $\{mz_1 + nz_2 : z_1, z_2 \in \mathbb{Z} \}$ está en $\langle S \rangle $, ya que como este es un conjunto cerrado bajo la resta en los enteros, la proposición 3 nos dice que todo $m\mathbb{Z}$ y todo $n\mathbb{Z}$ están en $\langle S \rangle $, y por la proposición 2, la suma $m\mathbb{Z} + n\mathbb{Z}$ también lo estará. En particular, $m\cdot z_1 + n \cdot z_2 \in \langle S \rangle $. Esto demostraría la contención inversa.
$\square$
Definición de máximo común divisor y teoremas
Por la proposición 4, afirmamos que existe $d\geq 0$ tal que $$\langle {m,n} \rangle = d\mathbb{Z}.$$ Así es como podremos definir al máximo común divisor.
Definición (Máximo común divisor). El entero $d\geq 0$ tal que $$d\mathbb{Z} = m\mathbb{Z} + n\mathbb{Z}$$ se llama el máximo común divisor de $n$ y $m$. Lo denotaremos por $(m,n).$
Coloquialmente, decimos que el máximo común divisor de dos enteros es el mayor número que divide a ambos. Por ejemplo, el máximo común divisor de $30$ y $50$ es $10.$ Pues $30 = 2\cdot 3 \cdot 5$ y $50 = 2 \cdot 5^2.$ Es decir, para calcular el el MCD de $30$ y $50$ se descomponen ambos números en su factorización en primos (podemos usar el algoritmo que aprendimos en la primaria). Todos los divisores de $30$ y $50$ son esos números primos que los factorizan, al igual que los productos de ellos y de sus potencias.
El libro de Álgebra Superior de Rincón, Bravo, Rincón en el que estamos basándonos, pide demostrar que $(0,0) = 0:$
Notamos que el máximo común divisor de $m = 0$ y $n= 0$ es $(0,0) = 0\cdot \mathbb{Z} + 0 \cdot \mathbb{Z} = 0 = d\mathbb{Z}.$ Como $\mathbb{Z}$ no siempre es cero, $d$ debe de serlo. Pero ¡cuidado! pues hay otros cursos y libros que especifican al máximo común divisor de cero como indefinido.
Teorema 2. Si $n\neq 0$ o $m \neq 0$, y $\langle {m,n} \rangle = d\mathbb{Z},$ $d\geq 0$, entonces $d$ tiene las siguientes propiedades:
- $d > 0$.
- $(d\mid n)\land (d \mid m)$.
- $(k \mid n)\land (k \mid m) \enspace \Longrightarrow (k \mid d)$.
Dem.- Si $m\neq 0$ o $n\neq 0$, necesariamente $d\neq 0$. Pero ya que $d\neq 0$ y $d\geq 0$, entonces $d > 0$.
$\langle {m,n} \rangle$ contiene a $m$ por definición de “generado de $m$ y $n$”. Así, existe $z\in \mathbb{Z}$ tal que $dz = m$, usando que $\langle {m,n} \rangle = d\mathbb{Z}$. Se implica que $d\mid m$. Y por un razonamiento análigo, $d\mid n.$
Si $k\mid n$ y $k\mid m$, entonces $n\in k\mathbb{Z}$ y $m\in k\mathbb{Z}$. De este modo, $k\mathbb{Z}$ es un ideal que contiene a $m$ y $n$. Por lo que también contiene a $\langle {m,n} \rangle = d\mathbb{Z}$. Así, existe un $z \in \mathbb{Z}$ tal que $k\cdot z = d\cdot 1 = d.$ De donde $k\mid d.$
$\square$
A continuación definimos a los números que son primos relativos y demostramos un teorema para ellos.
Definición (Primos relativos). Decimos que dos enteros $m, n$ son primos relativos si $(n,m) = 1$.
Teorema 3. Dos enteros $m, n$ son primos relativos si y sólo si existen $x$ y $y$ enteros tales que $xm + yn = 1.$
Dem.- La ida del teorema es una consecuencia inmediata de la definición de máximo común divisor, pues $1\mathbb{Z} = m\mathbb{Z} + n\mathbb{Z}$ implica que, eligiendo $1 \in \mathbb{Z}$ del lado izquierdo, necesariamente habrá alguna pareja de enteros $x,y \enspace$ tales que $1\cdot 1 = 1 = mx + ny.$
Tomemos ahora $mx + ny = 1.$ Para $z$ arbitraria se cumplirá que $zmx + zny = z.$ Es decir, $m(zx) + n(zy) = 1z.$ Como sucede para toda $z$, $m\mathbb{Z} + n\mathbb{Z} = 1\cdot \mathbb{Z}.$ Por lo que $m$ y $n$ son primos relativos.
$\square$
El teorema anterior es relevante pues al hacer demostraciones será más usual describir a dos numeros que son primos relativos mediante una combinación lineal del tipo $xn + yn = 1,$ en vez de usar la definición de máximo común divisor.
Ahora veamos otro teorema útil.
Teorema 4. Sean $a,b,c\in \mathbb{Z}$. Si $a\mid bc$ y $(a,b) = 1$ entonces $a\mid c.$
Dem.- Como $a$ divide a $bc$, existe $x \in \mathbb{Z}$ tal que $ax = bc$. Multiplicamos esta ecuación por $m$ adecuada:
$$ amx = bmc.$$
Luego, existen $m,n$ enteros tales que $bm + an = 1$, pues $a,b$ son primos relativos. Así, $bm = 1 \enspace – \enspace an.$
Sustituyendo en $ amx = bmc $, tenemos que $amx = (1 \enspace – \enspace an)c$. De donde $$amx(1 + an) = (1 + an)(1\enspace – \enspace an)c = c \enspace – \enspace c(an)^2,$$ lo que implica
$$ a\Big[mx(1 + an) + (ca)n^2\Big] = c .$$
$\square$
Teorema 5. Sean $a,b,c \in \mathbb{Z}.$ Si $a\mid c$, $b\mid c$ y $(a,b) =1,$ entonces $ab \mid c$.
Dem.- Ya que $(a,b)$ son primos relativos, existen $m,n \in \mathbb{Z}$ tales que $am + bn = 1 $ y multiplicamos esta ecuación por $c$: $$cam + cbn = c.$$
Luego, existen $q,r \in \mathbb{Z}$ tales que $aq = c$ y $br = c$, pues $a$ divide a $c$ y $b$ divide a $c$. Y sustituyendo en $cam + cbn = c$ tenemos: $$ bram + aqbn = ab(rm + qn) = c , $$ de donde $ab \mid c.$
$\square$
Ejercicios
- Demuestra que dos enteros consecutivos siempre son primos relativos.
- Demuestra que si $(a,b)=1$, entonces $(a^n, b^m) =1.$
- Demuestra que para $d = (a,b)$, si $d=ra + sb$, entonces $(r,s) = 1.$
- Demuestra que si $(a,m) = 1 = (b,m)$, entonces $(ab,m) = 1.$
- Demuestra que si $(a,b) = d,$ entonces $(ad, bd) = 1.$
Más adelante…
La próxima entrada de blog veremos un par de resultados adicionales sobre máximo común divisor y desarrollaremos el tema de mínimo común múltiplo.
Entradas relacionadas
- Entrada anterior del curso: <<Ideales y divisibilidad>>
- Entrada siguiente del curso: <<Mínimo Común Múltiplo>>