Introducción
Definiremos al mínimo común múltiplo de dos enteros $a, b$ como el menor de los múltiplos comunes de $a$ y $b$.
Ejemplificando, sean $a = 6$, $b = 8$. Obviamente, $6\cdot 8 = 48$ es un múltiplo común para $6$ y $8$, pero no es el mínimo. Mientras que $24$ sí lo es. El algoritmo para encontrar este número ya lo conocemos. En este caso:
| 8 | 6 | 2 |
| 4 | 3 | 2 |
| 2 | 3 | 2 |
| 1 | 3 | 3 |
| | 1 | |
Pensando en escribir esto con más formalidad, $6\mathbb{Z}$ tendría a todos los múltiplos de $6:$ $$ \{ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, \ldots \}. $$ A su vez, $8\mathbb{Z}$ serían los múltiplos de $8$, $$ \{ 8, 16, 24, 32, 40, 48, \ldots \}.$$
De modo que al tomar la interseción $6\mathbb{Z}\cap 8\mathbb{Z}$, obtendríamos todos los múltiplos comunes de $8$ y $6$, de los cuales, el menor de ellos es el que nos interesaría; y que siempre existe; nos lo asegura el principio del buen orden. Más aún observamos que todos los múltiplos comunes de $6$ y $8$ son múltiplos de $24$ (que era el mínimo de ellos). De tal suerte que $ 6\mathbb{Z}\cap 8\mathbb{Z} = 24\mathbb{Z}.$
Mínimo Común Múltiplo
En general sucederá que, para $a$ y $b$ enteros, todos los múltiplos comunes de $a$ y $b$ serán múltiplos del mínimo común múltiplo, llamémosle $m$; y denotémosle por $[a,b]$. Con ello tendremos la siguiente proposición, cuya demostración es inmediata y se deja como ejercicio.
Proposición 1. Si $a\neq 0$ o $b\neq 0$, $a\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z} = m\mathbb{Z}$, y $m\geq 0$, entonces
- $m>0$,
- $a\mid m$ y $b\mid m$,
- Si $a\mid n$ y $b \mid n$, entonces $m \mid n$.
Para demostrar otra propiedad del MCM, primero hay que ver que:
Proposición 2. Sean $a,b,c \in \mathbb{Z^+}\cup\{0\}.$ Se cumple la igualdad $$a\mathbb{Z}(b\mathbb{Z}\cap c\mathbb{Z}) = ab\mathbb{Z}\cap ac\mathbb{Z}.$$
Dem.- Primero notamos que $ab\mathbb{Z} = a\mathbb{Z}b\mathbb{Z},$ ya que cualquier $q\in ab\mathbb{Z} $ es de la forma $q= (ab)(z) = (az)(b\cdot 1)$. De este modo, $q \in a\mathbb{Z}b\mathbb{Z}.$ Lo que demuestra $ab\mathbb{Z} \subseteq a\mathbb{Z}b\mathbb{Z}.$ Y tomando $q \in a\mathbb{Z}b\mathbb{Z}$, tendríamos $q = az_1bz_2$, para algunos $z_1, z_2 \in \mathbb{Z}.$ Luego, $az_1bz_2 = (ab)(z_1z_2) = abz.$ De donde $q\in ab\mathbb{Z}$, y se deslinda $a\mathbb{Z}b\mathbb{Z} \subseteq ab\mathbb{Z}.$
De este modo, lo que nos piden demostrar es en realidad $$ a\mathbb{Z}(b\mathbb{Z}\cap c\mathbb{Z}) = a\mathbb{Z}b\mathbb{Z} \cap a\mathbb{Z}c\mathbb{Z}.$$
Sea $x \in a\mathbb{Z}(b\mathbb{Z}\cap c\mathbb{Z}).$ Entonces $x$ se puede escribir de dos maneras: $x = az_1bz_2$ o $x = az_1cz_3$. Claramente $az_1bz_2 \in a\mathbb{Z}b\mathbb{Z}$ y $az_1cz_2 \in a\mathbb{Z}c\mathbb{Z}.$ Así, $x \in a\mathbb{Z}b\mathbb{Z} \cap a\mathbb{Z}c\mathbb{Z}.$ Más aún, $x \in ab\mathbb{Z}\cap ac\mathbb{Z}.$
Ahora tomemos $x \in a\mathbb{Z}b\mathbb{Z} \cap a\mathbb{Z}c\mathbb{Z}.$ De que $x \in a\mathbb{Z}b\mathbb{Z}$, sabemos que $x = az_1bz_2,$ con $z_1, z_2 \in \mathbb{Z}.$ De que $x \in a\mathbb{Z}c\mathbb{Z}$, se tiene que $x = az_1cz_3,$ $z_3 \in \mathbb{Z}.$ Por lo tanto, $x \in b\mathbb{Z}\cap c\mathbb{Z}$. Como $b\mathbb{Z}\cap c\mathbb{Z}$ es un ideal, existe $m \in \mathbb{Z}$ tal que $b\mathbb{Z}\cap c\mathbb{Z} = m\mathbb{Z},$ con $x = az_1mz_4 = a(z_1mz_4) = az.$ Por lo que $x \in a\mathbb{Z}(b\mathbb{Z}\cap c\mathbb{Z}).$
$\square$
Y ahora mostraremos que el MCM saca constantes.
Teorema 1. Si $k> 0$ y $k,b,c\in \mathbb{Z}$, se cumple: $ [kb, kc] = k[b,c]. $
Dem.- Por definción de mínimo común múltiplo tenemos que $[kb, kc]\mathbb{Z} = kb\mathbb{Z}\cap kc\mathbb{Z}.$ Usando el lema, $kb\mathbb{Z}\cap kc\mathbb{Z} = k\mathbb{Z}(b\mathbb{Z}\cap c\mathbb{Z}).$ Pero $b\mathbb{Z}\cap c\mathbb{Z} = [b,c],$ por definición de mínimo común múltiplo. Así, $k\mathbb{Z}(b\mathbb{Z}\cap c\mathbb{Z}) = k\mathbb{Z}([b,c])$ Finalmente, de la conmutatividad de la multiplicación en los enteros se tiene $k\mathbb{Z}([b,c]) = k\Big([b,c]\mathbb{Z}\Big).$
$\square$
Lema 1. Para $a,b\in \mathbb{Z}$ se cumple: $[a,b] = [-a,b] = [a,-b] = [-a, -b].$
Dem.- Si $a,b$ son distintos de cero, el mínimo común múltiplo $[a,b]$ es un entero positivo $m$, tal que $[a,b] = m.$ De la proposición 1, sabemos que $a \mid m$ y $b\mid m.$
Esto es, existe $x \in \mathbb{Z}$ tal que $ax = m$. Que implica $(-a)(-x) = m$. Por lo que $-a \mid m$. Así, $[-a, b] = m.$ Y por un argumento análogo, $[a, -b] = m.$ Por último, ya que $a \mid m$ y $b\mid m,$ tenemos que $ax = by = m$. Lo que implica $(-a)(-x) = (-b)(-y) = m = [-a, -b].$
$\square$
Notemos que si $b\neq 0$, y $a \mid b, $ existe una única $c\in \mathbb{Z}$ tal que $ac = b$. Esto es una consecuencia de la ley de cancelación. Primero, $b\neq 0$ implica $a \neq 0$. Si existiera $d\in \mathbb{Z}$ tal que $ad = b$, sucedería $ad = ac$, lo que implica $d = c.$
Sólo si $a$ divide a $b$ y $b$ es distinto de cero, denotaremos por $c = \frac{b}{a}$ al único entero $x$ con la propiedad de que $ax = b.$
Ya mencionamos que para $a,b \in \mathbb{Z}$, multiplicar $ab$ es obviamente múltiplo de $a$ y $b$, pero no es siempre el mínimo. Lo que sí siempre sucederá es que $ab$ se puede obtener multiplicando el MCM por el MCD, como lo establece el siguiente teorema:
Teorema 2. Si $a, b \in \mathbb{Z},$ $ab = (a,b)[a,b].$
Dem.- El caso de $a=0$, $b = 0$ se cumple evidentemente. Supongamos entonces $a\neq 0$ y $b\neq 0$. Por la observación previa al teorema, podemos tomar únicamente el caso $a > 0$ y $b > 0$; ya sabiendo qué pasa aquí, se deducirá lo que ocurre con los demás casos.
Luego, por la proposición 1, tomando $m = [a,b]$ tenemos que $a\mid m$ y $b\mid m$. Ya que $a$ divide a $m$, existe $x\in \mathbb{Z}$ tal que $ax = m$, lo que implica, multiplicando por $b$, $abx = bm$. Es decir, $ab \mid b[a,b]$.
Más aún, sabemos que el mínimo común múltiplo divide a todos los múltiplos comunes de $a$ y $b,$ y $ab$ es uno de ellos. De este modo $\frac{ab}{[a,b]} \mid b.$
Y de que $b\mid m$, podemos hacer un razonamiento análogo para deducir que $\frac{ab}{[a,b]} \mid a.$
Ya teniendo $\frac{ab}{[a,b]} \mid b$ y $\frac{ab}{[a,b]} \mid a,$ concluimos que $\frac{ab}{[a,b]} \mid (a,b).$ Esto es porque $(a,b)$ el máximo común divisor, es una combinación lineal de $a$ y $b$ y una propiedad de la divisibilidad nos decía: “Si $m,p, q \in \mathbb{Z}$, $m \mid p$ y $m\mid q$, entonces $m\mid \alpha s + \beta q \enspace \forall \alpha,\beta \in \mathbb{Z}.$”
Por la misma propiedad de divisibilidad, si $\frac{ab}{[a,b]} \mid (a,b),$ entonces $\frac{ab}{[a,b]} \mid (a,b)[a,b].$ Lo que implica $(a,b) \mid\frac{ab}{[a,b]}\cdot y.$ Nuevamente por la propiedad, $(a,b) \mid \Big(\frac{ab}{[a,b]}\Big)\cdot \Big(y\Big) \cdot \Big(\frac{[a,b]}{y}\Big).$ Es decir $(a,b) \mid ab.$ Consecuentemente, $(a,b)[a,b]t = ab$, y por ende $ab \mid (a,b)[a,b]$, de la definición de divisibilidad y usando nuevamente la propiedad. De aquí concluimos que $(a,b)[a,b] \in ab\mathbb{Z}.$
Se demostró en la entrada de blog anterior que $(a,b) \mid a$ y $(a,b) \mid b$. Es decir, $(a,b)k = a$ y $(a,b)l = b$, para algunos $k, l \in \mathbb{Z}.$ De donde $(a,b)k(a,b)l = ab.$
Luego, $\frac{ab}{(a,b)} \in \mathbb{Z}$ implica que podemos dividir la anterior ecuación entre $(a,b),$ obteniendo $al = bk = \frac{ab}{(a,b)}.$
Como se ve, $\frac{ab}{(a,b)},$ es múltiplo tanto de $a$ como de $b,$ por lo que también es múltiplo de $[a,b];$ así, $\frac{ab}{(a,b)} = w[a,b]$ para alguna $w \in \mathbb{Z}$ tal que $w> 0$. Igualdad que podemos multiplicar por $(a,b)$. De modo que $ab = w[a,b](a,b)$.
Ya que $[a,b](a,b) \in ab\mathbb{Z},$ $ab = wabz,$ lo que implica $wz = 1$, y de ello sabemos que $w$ y $z$ también son $1$, pues los únicos enteros que tienen inverso multiplicativo son $1$ y $-1$, pero elegimos $w>0$, lo que descarta $w = z = -1$.
Se concluye $w= 1$, y así $ab = [a,b](a,b)$, como queríamos.
$\square$
Ejemplo. El mínimo común múltiplo de $6$ y $8$ es $[6,8 ] = 24.$ El máximo común divisor de $6$ y $8$ es $(6,8) = 2.$ De este modo, $[6,8](6,8) = (2)(24) = 48 = (6)(8).$
El teorema 2 afirma que esto pasa para cada par de enteros que elijamos. Podríamos estar todo el día jugando con parejas de enteros $m,n$, fueran estos ambos positivos, ambos negativos, uno y uno, números muy grandes o chicos o combinados, y así nos daríamos cuenta de que multiplicar $m$ por $n$ da lo mismo que primero calcular el máximo común divisor $(m,n)$, luego el mínimo común múltiplo $[m,n]$ y multiplicar $(m,n)[m,n].$ Si se te ocurre una aplicación interesante para este resultado, te invito a que me lo cuentes.
Y por supuesto que nos interesaría saber si podemos calcular el mínimo común múltiplo para n enteros, lo que siempre es posible pues éste número siempre existe, aunque sean muchos los enteros involucrados, y es lo que mostraremos a continuación.
Teorema 3. Sean $a_1, a_2, \ldots , a_n \in \mathbb{Z}$ tales que $a_n\neq 0 \enspace \forall n$. El máximo común divisor de $n$ números es $$ \Big[a_1, a_2, \ldots , a_n\Big] = \Big[[a_1, a_2, \ldots , a_{n-1}], a_n\Big]. $$
Dem.- Haremos una prueba por inducción, donde el caso base consiste en mostrar que $$\Big[a_1, a_2, a_3\Big] = \Big[[a_1, a_2], a_3 \Big].$$
$\Big[[a_1, a_2], a_3 \Big] = [a_1, a_2]\mathbb{Z}\cap a_3\mathbb{Z} = (a_1\mathbb{Z}\cap a_2\mathbb{Z})\cap a_3\mathbb{Z} = a_1\mathbb{Z}\cap a_2\mathbb{Z}\cap a_3\mathbb{Z} $, por definición de mínimo común múltiplo y la asociatividad de la intersección de conjuntos.
Como la intersección de ideales es un ideal, existe $m\in \mathbb{Z}$ tal que $$m\mathbb{Z} = a_1\mathbb{Z}\cap a_2\mathbb{Z}\cap a_3\mathbb{Z} = [a_1, a_2, a_3].$$
Suponemos, por hipótesis de inducción, que $ [a_1, a_2, \ldots , a_{n-1}] = \Big[[a_1, a_2, \ldots , a_{n-2}], a_{n-1}\Big],$ y queremos demostrar $ [a_1, a_2, \ldots , a_n] = \Big[[a_1, a_2, \ldots , a_{n-1}], a_n\Big].$
Ya que, por hipótesis de inducción existe $q \in \mathbb{Z}$ tal que $q\mathbb{Z} = a_1\mathbb{Z}\cap a_2\mathbb{Z}\cap \ldots \cap a_{n-1}\mathbb{Z}$, \begin{align*} \Big[[a_1, a_2, \ldots , a_{n-1}], a_n\Big] &= q\mathbb{Z}\cap a_n\mathbb{Z}\\ &= (a_1\mathbb{Z}\cap a_2\mathbb{Z}\cap\ldots\cap a_{n-1}\mathbb{Z})\cap a_n\mathbb{Z} \\ &= a_1\mathbb{Z}\cap a_2\mathbb{Z}\cap\ldots\cap a_{n-1}\mathbb{Z}\cap a_n\mathbb{Z}. \end{align*}
La última igualdad formalmente también se demuestra por inducción, usando el hecho de que la intersección de conjuntos es un conjunto y reduciendo todo al caso base para dos conjuntos.
Dado que la intersección de ideales es un ideal, $\exists w\in \mathbb{Z}$ tal que $$w\mathbb{Z} = q\mathbb{Z}\cap a_n\mathbb{Z} = [a_1, a_2, \ldots , a_n].$$
Por lo tanto, $$w\mathbb{Z} = [a_1, a_2, \ldots , a_n] = \Big[[a_1, a_2, \ldots , a_{n-1}], a_n\Big]. $$
$\square$
A veces se dice que la definición de $ [a_1, a_2, \ldots , a_n]$ es $\Big[[a_1, a_2, \ldots , a_{n-1}], a_n\Big]$ y se omite una demostración.
Más propiedades para el máximo común divisor
Para finalizar este texto, demostraremos dos resultados sobre máximo común divisor, además de los que ya teníamos, y que se parecen a lo que ya hemos hecho hoy.
Primero una proposición que nos servirá para una de las pruebas.
Proposición 3. Sean $a,b,c \in \mathbb{Z}$.Se cumple la igualdad: $a\mathbb{Z}(b\mathbb{Z} + c\mathbb{Z}) = a\mathbb{Z}b\mathbb{Z} + a\mathbb{Z}c\mathbb{Z}.$
Dem.- Para verificar que $a\mathbb{Z}(b\mathbb{Z} + c\mathbb{Z}) \subseteq a\mathbb{Z}b\mathbb{Z} + a\mathbb{Z}c\mathbb{Z},$ tomemos $x\in a\mathbb{Z}(b\mathbb{Z} + c\mathbb{Z}).$ Entonces $x = az_1(bz_2 + cz_3)$, para algunos $z_1, z_2, z_3 \in \mathbb{Z}.$ Y por la distributividad y asociatividad en $\mathbb{Z}$ se tiene que
$$ x = (az_1)(bz_2) + (az_1)(cz_3) \in a\mathbb{Z}b\mathbb{Z} + a\mathbb{Z}c\mathbb{Z}.$$
La contención $a\mathbb{Z}b\mathbb{Z} + a\mathbb{Z}c\mathbb{Z} \subseteq a\mathbb{Z}(b\mathbb{Z} + c\mathbb{Z})$ es igualmente fácil. Toda la igualdad se pudo haber demostrado directamente, pues, cada uno de los pasos del párrafo anterior es un si y sólo sí.
$\square$
Y ahora, veremos que el MCD saca constantes. O lo que es mismo, da igual calcular un máximo común divisor de $(b,c)$ y luego multiplicarlo por una constante, que multiplicar primero $b$ y $c$ por una constante antes de calcularle a eso el máximo común divisor.
Teorema 4. Si $k,b,c \in \mathbb{Z}$ y $k>0$, entonces $(kb, kc) = k(b, c).$
Dem.- Tenemos que
\begin{alignat*}{2} k(b,c)\mathbb{Z} &= k\mathbb{Z}((b,c)\mathbb{Z}) \qquad &&\text{(se demostró en la proposición 2)}\\ &= k\mathbb{Z}(b\mathbb{Z} + c\mathbb{Z}) \qquad &&\text{(definición de $(b,c)$)}\\ &= k\mathbb{Z}b\mathbb{Z} + k\mathbb{Z}c\mathbb{Z} \qquad &&\text{(proposición 3)}\\ &= kb\mathbb{Z} + kc\mathbb{Z} \qquad &&\text{(conmutatividad y asociatividad en $\mathbb{Z}$)}\\ &= (kb, kc)\mathbb{Z}. \qquad &&\text{(definición de $(kb, kc)$)} \end{alignat*}
De este modo, $k(b,c) \mid (kb, kc)$ y $(kb, kc) \mid k(b,c)$. Ya que ambos $k(b,c)$ y $(kb,kc)$ son no negativos, se garantiza la igualdad $k(b,c) = (kb, kc).$
$\square$
Teorema 5. Sean $a_1,a_2, \ldots, a_n \in \mathbb{Z}$ tales que $a_n\neq 0$ para toda $n\in \mathbb{N}.$ El máximo común divisor de $n$ números es $$(a_1, a_2, \ldots, a_n) = ((a_1, a_2, \ldots , a_{n-1}), a_n).$$
Dem.- Haremos la prueba por inducción, donde el caso base es $(a_1, a_2, a_3) = ((a_1, a_2), a_3).$ No hay tanto que demostrar, pues esta es la definición de máximo común divisor para tres números, y aquí la razón de ello:
Sea $(a_1, a_2) = m_1$.
\begin{align*} ((a_1, a_2), a_3) &= (a_1, a_2)\mathbb{Z} + a_3\mathbb{Z} \\ &= (a_1\mathbb{Z} + a_2\mathbb{Z}) + a_3\mathbb{Z} \\ &= a_1\mathbb{Z} + a_2\mathbb{Z} + a_3\mathbb{Z} \\ &= (a_1, a_2, a_3). \end{align*}
Notamos que ya que el máximo común divisor para dos números está definido, entonces el máximo común divisor de tres números está definido, pues existirá el generado de $(a_1, a_2)$ y $a_3:$ $$(a_1, a_2)\mathbb{Z} + a_3\mathbb{Z} = m_1\mathbb{Z} + a_3\mathbb{Z} = \langle {m_1, a_3} \rangle = m_2\mathbb{Z},$$ con $m_2\in \mathbb{Z},$ $m_2>0.$ Como la suma en $\mathbb{Z}$ es asociativa, $((a_1, a_2), a_3) = (a_1, (a_2,a_3)) = (a_1, a_2, a_3). $
Además sucederá que $0 \leq m_2 \leq m_1$, pues $m_2$ divide a $m_1$.
Ya que el máximo común divisor para tres números está definido, también lo está el máximo común divisor para $n$ números, y la prueba de esto formalmente se hace por inducción, y reduciendo el problema al caso base de una suma de dos términos.
Supongamos ahora por hipótesis de inducción, $(a_1, a_2, \ldots , a_{n-1}) = ((a_1, a_2, \ldots , a_{n-2}), a_{n-1}).$
Queremos demostrar que $(a_1, a_2, \ldots , a_n) = ((a_1, a_2, \ldots , a_{n-1}), a_n).$
La hipótesis nos dice que existe un entero $m_{n-1}$ tal que $m_{n-1}\mathbb{Z} = \langle{a_1, a_2, \ldots , a_{n-1}}\rangle$, y de este modo estará también definido el máximo común divisor para $n$ números, simplemente sumando:
$$((a_1, a_2, \ldots , a_{n-1}), a_n) = m_n\mathbb{Z} = m_{n-1}\mathbb{Z} + a_n\mathbb{Z}. $$
Más aún, de la asociatividad en $\mathbb{Z}$ se tiene que
\begin{align*} m_{n-1}\mathbb{Z} + a_n\mathbb{Z} &= (a_1\mathbb{Z} + a_2\mathbb{Z} + a_{n-1}\mathbb{Z}) + a_n\mathbb{Z} \\ &= a_1\mathbb{Z} + a_2\mathbb{Z} + a_{n-1}\mathbb{Z} + a_n\mathbb{Z} \\ &= (a_1, a_2, \ldots , a_n), \end{align*}
por lo que $(a_1, a_2, \ldots , a_n) = ((a_1, a_2, \ldots , a_{n-1}), a_n).$
Además, $0 \leq m_n \leq m_{n-1} \leq \ldots \leq m_1,$ pues $m_n \mid m_{n-1}$, $m_{n-1} \mid m_{n-2}, \ldots \enspace m_2 \mid m_1$, por cómo se fueron construyendo los $m_i\mathbb{Z}$.
$\square$
Ejercicios
- Demuestra que, para $a,b\in \mathbb{Z}$ se cumple: $(a,b) = (-a,b) = (a,-b) = (-a, -b).$
- Demuestra que, en $\mathbb{Z},$ el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor son únicos.
Entradas relacionadas
- Entrada anterior del curso: <<Máximo Común Divisor>>
- Entrada siguiente del curso: <<El Teorema Fundamental de la Aritmética>>